Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \( M \) — середина ребра \( DC \) тетраэдра \( DABC \) (рис. 5.20). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \( M \) и параллельной прямым \( AD \) и \( BD \). Вычислите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно \( a \).
Точка \( M \) — середина ребра \( DC \), значит \( M \) делит \( DC \) пополам. Плоскость проходит через \( M \) и параллельна прямым \( AD \) и \( BD \), значит сечение параллельно треугольнику \( ADB \).
Точки сечения на ребрах \( AC \) и \( BC \) — середины этих ребер, обозначим их \( N \) и \( K \).
Треугольник \( MNK \) подобен треугольнику \( ADB \), причем масштаб подобия равен \( \frac{1}{2} \) (потому что точки \( M, N, K \) — середины рёбер).
Площадь треугольника \( ADB \) равна \( S_{ADB} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} \).
Площадь сечения равна \( S = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} S_{ADB} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{16} a^{2} \).
1. Дано тетраэдр \( DABC \) с ребрами длины \( a \). Точка \( M \) — середина ребра \( DC \).
2. Плоскость проходит через точку \( M \) и параллельна прямым \( AD \) и \( BD \). Значит плоскость параллельна плоскости, в которой лежит треугольник \( ADB \).
3. Поскольку плоскость параллельна плоскости \( ADB \), сечение тетраэдра этой плоскостью будет треугольником, подобным треугольнику \( ADB \).
4. Точка \( M \) принадлежит ребру \( DC \), и так как \( M \) — середина, то \( DM = MC = \frac{a}{2} \).
5. Рассмотрим точки пересечения плоскости с рёбрами \( AC \) и \( BC \). Плоскость параллельна \( ADB \), поэтому эти точки будут серединами рёбер \( AC \) и \( BC \), обозначим их \( N \) и \( K \).
6. Таким образом, сечение — треугольник \( MNK \), где \( M, N, K \) — середины рёбер \( DC, AC, BC \) соответственно.
7. Треугольник \( MNK \) подобен треугольнику \( ADB \) с коэффициентом подобия \( \frac{1}{2} \), так как все его стороны вдвое короче соответствующих сторон \( ADB \).
8. Площадь треугольника \( ADB \) равна площади равностороннего треугольника со стороной \( a \), то есть \( S_{ADB} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} \).
9. Площадь подобного треугольника \( MNK \) равна площади \( ADB \), умноженной на квадрат коэффициента подобия, то есть \( S = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} S_{ADB} = \frac{1}{4} S_{ADB} \).
10. Подставляя значение площади \( ADB \), получаем \( S = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{16} a^{2} \).
