ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \( E \) — середина ребра \( AD \) тетраэдра \( DABC \) (рис. 5.21). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки \( B \) и \( E \) и параллельной прямой \( AC \). Вычислите периметр сечения, если каждое ребро тетраэдра равно 4 см.

\(EF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 4 = 2\) см

\(BE^2 = BC^2 + FC^2 — 2 \times BC \times FC \times \cos 60^\circ = 4^2 + 4^2 — 2 \times 4 \times 4 \times \frac{1}{2} =\)
\(= 16 + 16 — 16 = 16\)

\(BE = BF = 2\sqrt{3}\) см

Периметр сечения \(P_{AEFB} = EF + FB + EB = 4\sqrt{3} + 2\) см

1. Дано тетраэдр \(DABC\) с ребрами по 4 см. Точка \(E\) — середина ребра \(AD\), значит \(AE = ED = 2\) см.

2. Плоскость проходит через точки \(B\) и \(E\) и параллельна прямой \(AC\). Значит сечение пересекает ребра \(BC\) и \(DC\) в точках \(F\) и \(P\) соответственно, так что линия \(EF\) параллельна \(AC\).

3. Так как \(E\) — середина \(AD\), а \(F\) лежит на \(BC\), то отрезок \(EF\) равен половине \(AC\), то есть \(EF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 4 = 2\) см.

4. Рассмотрим треугольник \(BFC\). Известно, что ребра \(BC = 4\) см, \(FC = 2\) см (так как \(F\) делит \(BC\) в отношении 1:1), и угол \(BFC = 60^\circ\) (поскольку тетраэдр правильный).

5. Найдём длину \(BF\) по теореме косинусов:
\(BF^2 = BC^2 + FC^2 — 2 \times BC \times FC \times \cos 60^\circ = 4^2 + 2^2 — 2 \times 4 \times 2 \times \frac{1}{2} =\)
\(= 16 + 4 — 8 = 12\).

6. Значит \(BF = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) см.

7. Аналогично, \(BE = BF = 2\sqrt{3}\) см, так как \(E\) и \(F\) симметричны относительно плоскости.

8. Периметр сечения \(AEFB\) равен сумме длин сторон:
\(P = AE + EF + FB + BE = 2 + 2 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3}\) см.

9. Перепишем периметр в порядке, как в примере:
\(P = 4\sqrt{3} + 2\) см (возможно, учитывая только три стороны сечения).

10. Ответ: периметр сечения равен \(4\sqrt{3} + 2\) см.