ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( E \) и \( F \) — середины соответственно рёбер \( AB \) и \( BC \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) (рис. 5.23). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки \( E \) и \( F \) и параллельной прямой \( DD_1 \). Вычислите периметр сечения, если ребро куба равно \( a \).

1. \( EF = \frac{1}{2} AC = \frac{a \sqrt{2}}{2} \)
2. \( EM = FK = a \)
3. Периметр \( P = 2 \cdot EF + 2 \cdot EM = 2 \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} + 2a = a (2 + \sqrt{2}) \)

1. Рассмотрим квадрат \( ABCD \) с длиной стороны \( a \). Точки \( E \) и \( F \) — середины сторон \( AB \) и \( BC \) соответственно. Значит, \( E \) делит \( AB \) пополам, а \( F \) — \( BC \) пополам. Тогда длина отрезка \( EF \) равна половине диагонали квадрата \( ABCD \). Диагональ квадрата равна \( AC = a \sqrt{2} \), следовательно, \( EF = \frac{1}{2} AC = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).

2. Куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) имеет ребро длины \( a \). Плоскость, проходящая через точки \( E \) и \( F \) и параллельная прямой \( DD_1 \), будет пересекать верхние ребра куба, проходящие через эти точки. Эти пересечения обозначим как \( M \) и \( K \), они находятся на ребрах \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \) соответственно. Длина отрезков \( EM \) и \( FK \) равна высоте куба, то есть \( a \).

3. Полученное сечение — параллелограмм \( EFMK \), у которого противоположные стороны равны: \( EF = MK = \frac{a \sqrt{2}}{2} \) и \( EM = FK = a \).

4. Найдём периметр параллелограмма \( EFMK \). Периметр равен сумме длин всех сторон: \( P = 2 \cdot EF + 2 \cdot EM = 2 \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} + 2a = a \sqrt{2} + 2a = a (2 + \sqrt{2}) \).