ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямая \( a \) параллельна плоскости \( \alpha \). Через точку \( M \), лежащую в плоскости \( \alpha \), проведена прямая \( b \), параллельная прямой \( a \). Докажите, что прямая \( b \) лежит в плоскости \( \alpha \).

Прямая \( a \) параллельна плоскости \( \alpha \), значит либо \( a \subset \alpha \), либо \( a \cap \alpha = \emptyset \) и \( a \parallel \alpha \). Прямая \( b \parallel a \) и проходит через точку \( M \in \alpha \). Если бы \( b \not\subset \alpha \), то \( b \) пересекала бы плоскость \( \alpha \) в точке \( M \), а \( a \) была бы параллельна \( \alpha \), тогда \( b \) и \( a \) не могут быть параллельны. Значит \( b \subset \alpha \).

1. Пусть прямая \( a \) параллельна плоскости \( \alpha \). Это значит, что либо \( a \subset \alpha \), либо \( a \cap \alpha = \emptyset \) и \( a \) не пересекает плоскость \( \alpha \).

2. Точка \( M \) лежит в плоскости \( \alpha \), то есть \( M \in \alpha \).

3. Через точку \( M \) проведена прямая \( b \), которая параллельна прямой \( a \), то есть \( b \parallel a \).

4. Предположим, что прямая \( b \) не лежит в плоскости \( \alpha \), тогда она пересекает плоскость \( \alpha \) только в точке \( M \), так как \( M \in b \) и \( M \in \alpha \).

5. Если \( b \) не лежит в плоскости \( \alpha \), то прямая \( b \) пересекает плоскость \( \alpha \) по одной точке \( M \).

6. Но тогда прямая \( b \) и прямая \( a \), параллельные друг другу, не могут быть параллельны, поскольку \( a \) параллельна плоскости \( \alpha \) и не пересекает её, а \( b \) пересекает плоскость \( \alpha \) в точке \( M \).

7. Получаем противоречие с условием \( b \parallel a \).

8. Значит предположение, что \( b \not\subset \alpha \), неверно.

9. Следовательно, прямая \( b \) лежит в плоскости \( \alpha \).

10. Итог: прямая \( b \), параллельная \( a \) и проходящая через точку \( M \in \alpha \), обязательно лежит в плоскости \( \alpha \).