Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что если две данные пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия пересечения данных плоскостей параллельна этой третьей плоскости.
Дано: две плоскости \( \alpha \) и \( \beta \), которые пересекаются по прямой \( l \). Третья плоскость \( \gamma \) пересекает \( \alpha \) по прямой \( a \) и \( \beta \) по прямой \( b \), причем \( a \parallel b \).
Нужно доказать, что \( l \parallel \gamma \).
Так как \( a \subset \alpha \cap \gamma \) и \( b \subset \beta \cap \gamma \), а \( a \parallel b \), то \( a \) и \( b \) лежат в плоскости \( \gamma \) и параллельны.
Прямая \( l \) лежит в плоскостях \( \alpha \) и \( \beta \), но не лежит в \( \gamma \), иначе \( a \) и \( b \) пересеклись бы.
По свойству параллельности, если линия параллельна двум параллельным прямым в плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Значит, \( l \parallel \gamma \).
1. Даны две пересекающиеся плоскости \( \alpha \) и \( \beta \), которые пересекаются по прямой \( l \), то есть \( l = \alpha \cap \beta \).
2. Третья плоскость \( \gamma \) пересекает плоскость \( \alpha \) по прямой \( a \), то есть \( a = \alpha \cap \gamma \), и пересекает плоскость \( \beta \) по прямой \( b \), то есть \( b = \beta \cap \gamma \).
3. Из условия известно, что прямые \( a \) и \( b \) параллельны, то есть \( a \parallel b \).
4. Поскольку \( a \) и \( b \) лежат в плоскости \( \gamma \), а они параллельны, то в плоскости \( \gamma \) есть две параллельные прямые \( a \) и \( b \).
5. Линия \( l \) лежит одновременно в плоскостях \( \alpha \) и \( \beta \), но не лежит в плоскости \( \gamma \), иначе \( a \) и \( b \) пересеклись бы, что невозможно, так как они параллельны.
6. Рассмотрим взаимное расположение прямых и плоскостей: \( l \) принадлежит пересечению \( \alpha \) и \( \beta \), а \( a \) и \( b \) принадлежат \( \gamma \) и соответственно \( \alpha \) и \( \beta \).
7. По свойству параллельности, если прямая параллельна двум параллельным прямым в плоскости, то эта прямая параллельна самой плоскости.
8. Прямая \( l \) параллельна прямым \( a \) и \( b \), так как \( a \parallel b \) и \( l \) не пересекает \( \gamma \).
9. Следовательно, линия \( l \) параллельна плоскости \( \gamma \), то есть \( l \parallel \gamma \).
10. Таким образом, доказано, что линия пересечения двух плоскостей, которые пересекают третью плоскость по параллельным прямым, параллельна этой третьей плоскости.
