Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На ребре \( BB_1 \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) отметили точки \( E \) и \( F \) (рис. 5.25). Постройте линию пересечения плоскостей \( AFD \) и \( ARED_1 \).
Точки \(E\) и \(F\) лежат на ребре \(BB_1\). Плоскость \(AFD\) проходит через точки \(A\), \(F\), \(D\). Плоскость \(ARED_1\) (предположим, что \(R = B\)) проходит через точки \(A\), \(B\), \(E\), \(D_1\).
Линия пересечения этих плоскостей проходит через точку \(A\), так как она общая для обеих плоскостей.
Найдём точку пересечения линии \(FD\) с плоскостью \(ARED_1\). Поскольку \(E\) лежит на \(BB_1\), а \(B\) и \(D_1\) — вершины параллелепипеда, линия \(ED_1\) принадлежит плоскости \(ARED_1\). Проведём прямую \(FE\), так как \(F\) и \(E\) на одном ребре.
Таким образом, линия пересечения — прямая, проходящая через точки \(A\) и \(F\), и точка \(D\) принадлежит плоскости \(AFD\).
Проверим пересечение плоскостей по точкам:
1. Точка \(A\) — общая.
2. Точка \(F\) — на ребре \(BB_1\), лежит в обеих плоскостях.
3. Точка \(D\) — в плоскости \(AFD\).
4. Точка \(E\) — в плоскости \(ARED_1\).
Линия пересечения — прямая через точки \(F\) и \(D\).
Ответ: линия пересечения плоскостей \(AFD\) и \(ARED_1\) — прямая \(FD\).
1. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). На ребре \( BB_1 \) отмечены точки \( E \) и \( F \). По условию нам нужно построить линию пересечения плоскостей \( AFD \) и \( ARED_1 \).
2. Плоскость \( AFD \) определяется точками \( A \), \( F \), \( D \). Эти точки не лежат на одной прямой, значит плоскость существует и однозначно задана.
3. Плоскость \( ARED_1 \) проходит через точки \( A \), \( R \), \( E \), \( D_1 \). Предположим, что точка \( R \) — это вершина \( B \), так как \( R \) не обозначена отдельно и логично считать, что плоскость проходит через \( A \), \( B \), \( E \), \( D_1 \).
4. Найдём общие точки и линии, которые могут принадлежать обеим плоскостям. Точка \( A \) лежит в обеих плоскостях, значит линия пересечения проходит через \( A \) или через другую общую точку.
5. Рассмотрим ребро \( BB_1 \), на котором расположены точки \( E \) и \( F \). Поскольку \( E \) и \( F \) лежат на \( BB_1 \), они принадлежат плоскости \( ARED_1 \), так как \( B \), \( E \), \( D_1 \) — вершины этой плоскости.
6. Рассмотрим отрезок \( FD \). Точки \( F \) и \( D \) лежат в плоскости \( AFD \), так как она задана через \( A \), \( F \), \( D \).
7. Теперь проверим, принадлежит ли отрезок \( FD \) плоскости \( ARED_1 \). Точка \( F \) лежит на ребре \( BB_1 \) и, следовательно, в плоскости \( ARED_1 \). Точка \( D \) — вершина параллелепипеда, она принадлежит плоскости \( ADD_1A_1 \), но не обязательно плоскости \( ARED_1 \). Поэтому надо проверить, пересекается ли линия \( FD \) с плоскостью \( ARED_1 \).
8. Плоскость \( ARED_1 \) содержит точки \( A \), \( B \), \( E \), \( D_1 \). Рассмотрим линию \( AE \), которая лежит в плоскости \( ARED_1 \). Точки \( A \) и \( E \) принадлежат плоскости \( ARED_1 \).
9. Линия пересечения плоскостей должна проходить через две точки, принадлежащие обеим плоскостям. Точка \( A \) — общая. Вторая точка — точка пересечения линии \( FD \) с плоскостью \( ARED_1 \). Поскольку \( F \) лежит в \( ARED_1 \), а \( D \) — в \( AFD \), линия \( FD \) является искомой линией пересечения.
10. Значит, линия пересечения плоскостей \( AFD \) и \( ARED_1 \) — прямая, проходящая через точки \( F \) и \( D \).
