ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( E \) и \( F \) — середины соответственно рёбер \( AD \) и \( CD \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую \( EF \) параллельно прямой \( B_1D \).

Точки \( E \) и \( F \) — середины рёбер \( AD \) и \( CD \), значит \( E \left(0, \frac{1}{2}, 0\right) \), \( F \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right) \).

Вектор \( \overrightarrow{EF} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \).

Вектор \( \overrightarrow{B_1D} = (0 — 1, 1 — 0, 0 — 1) = (-1, 1, -1) \).

Нормаль к плоскости \( \vec{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{B_1D} = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1) \).

Уравнение плоскости через точку \( E \):

\(-\frac{1}{2}(x — 0) + \frac{1}{2}(y — \frac{1}{2}) + 1(z — 0) = 0\),

откуда

\(-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y — \frac{1}{4} + z = 0\),

то есть

\(-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y + z = \frac{1}{4}\).

1. Рассмотрим куб с вершинами \( A(0,0,0) \), \( B(1,0,0) \), \( C(1,1,0) \), \( D(0,1,0) \), \( A_1(0,0,1) \), \( B_1(1,0,1) \), \( C_1(1,1,1) \), \( D_1(0,1,1) \).

2. Найдём координаты точек \( E \) и \( F \), которые являются серединами рёбер \( AD \) и \( CD \) соответственно. Точка \( E \) — середина отрезка \( AD \), значит \( E \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (0, \frac{1}{2}, 0) \). Точка \( F \) — середина отрезка \( CD \), значит \( F \left( \frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 1, 0 \right) \).

3. Найдём вектор \( \overrightarrow{EF} \), который равен разности координат точек \( F \) и \( E \): \( \overrightarrow{EF} = \left( \frac{1}{2} — 0, 1 — \frac{1}{2}, 0 — 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) \).

4. Найдём вектор \( \overrightarrow{B_1D} \), который равен разности координат точек \( D \) и \( B_1 \): \( \overrightarrow{B_1D} = (0 — 1, 1 — 0, 0 — 1) = (-1, 1, -1) \).

5. Плоскость, проходящая через прямую \( EF \) и параллельная прямой \( B_1D \), содержит векторы \( \overrightarrow{EF} \) и \( \overrightarrow{B_1D} \).

6. Найдём вектор нормали к плоскости как векторное произведение \( \vec{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{B_1D} \).

7. Вычислим векторное произведение:

\(\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} =\)
\(= \mathbf{i} \left( \frac{1}{2} \cdot (-1) — 0 \cdot 1 \right) — \mathbf{j} \left( \frac{1}{2} \cdot (-1) — 0 \cdot (-1) \right) + \mathbf{k} \left( \frac{1}{2} \cdot 1 — \frac{1}{2} \cdot (-1) \right) =\)
\(= \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1 \right)\).

8. Уравнение плоскости, проходящей через точку \( E(0, \frac{1}{2}, 0) \) с нормалью \( \vec{n} = \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1 \right) \), записывается как:

\(-\frac{1}{2} (x — 0) + \frac{1}{2} \left( y — \frac{1}{2} \right) + 1 (z — 0) = 0\).

9. Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(-\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y — \frac{1}{4} + z = 0\).

10. Переносим свободный член вправо и получаем окончательное уравнение плоскости:

\(-\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y + z = \frac{1}{4}\).