ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \( M \) — середина ребра \( CC_1 \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки \( D \) и \( M \) параллельно прямой \( AC_1 \).

Точка \( M \) — середина ребра \( CC_1 \), значит \( M = \frac{C + C_1}{2} \).

Плоскость проходит через точки \( D \) и \( M \) и параллельна прямой \( AC_1 \), значит в плоскости лежит вектор \( \overrightarrow{AC_1} \).

Проведём через \( D \) прямую, параллельную \( AC_1 \). Она пересечёт ребро \( AB \) в точке \( P \).

Проведём через \( M \) прямую, параллельную \( AC_1 \). Она пересечёт ребро \( B_1C_1 \) в точке \( Q \).

Точки сечения: \( D \), \( P \), \( Q \), \( M \).

Это и есть искомое сечение куба.

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Пусть координаты вершин \( A, B, C, D \) на нижней грани, а \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) — соответствующие вершины на верхней грани.

2. Точка \( M \) — середина ребра \( CC_1 \), значит её координаты находятся по формуле \( M = \frac{C + C_1}{2} \).

3. Плоскость должна проходить через точки \( D \) и \( M \). Значит эти две точки лежат на искомой плоскости.

4. Плоскость параллельна прямой \( AC_1 \), значит вектор \( \overrightarrow{AC_1} \) лежит в плоскости или параллелен ей.

5. Через точку \( D \) проведём прямую, параллельную вектору \( \overrightarrow{AC_1} \). Пусть эта прямая пересекает ребро \( AB \) в точке \( P \).

6. Через точку \( M \) проведём прямую, параллельную вектору \( \overrightarrow{AC_1} \). Пусть эта прямая пересекает ребро \( B_1C_1 \) в точке \( Q \).

7. Теперь у нас есть четыре точки: \( D \), \( M \), \( P \), \( Q \), которые лежат в одной плоскости.

8. Эти точки определяют сечение куба плоскостью, проходящей через \( D \) и \( M \) и параллельной \( AC_1 \).

9. Следовательно, искомое сечение — четырёхугольник \( D P Q M \).

10. Таким образом, построение сечения завершено: \( D \), \( P \), \( Q \), \( M \) — вершины сечения.