ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( M, N \) и \( K \) принадлежат соответственно граням \( AA_1C_1C, AA_1B_1B \) и \( BB_1C_1C \) призмы \( ABCA_1B_1C_1 \) (рис. 5.26). Постройте сечение призмы плоскостью \( MNK \).

Точки \(M, N, K\) лежат на гранях призмы: \(M\) на \(AA_1C_1C\), \(N\) на \(AA_1B_1B\), \(K\) на \(BB_1C_1C\).

Построим сечение плоскостью \(MNK\).

Соединим точки \(M\) и \(N\), \(N\) и \(K\), \(K\) и \(M\).

Теперь найдем пересечения плоскости \(MNK\) с ребрами призмы:

1) Пересечение с ребром \(AB\): точка \(P\).

2) Пересечение с ребром \(AC\): точка \(Q\).

3) Пересечение с ребром \(A_1B_1\): точка \(R\).

4) Пересечение с ребром \(B_1C_1\): точка \(S\).

Сечение — многоугольник \(PQRSMN\).

Ответ: сечение призмы плоскостью \(MNK\) — многоугольник с вершинами \(P, Q, R, S, M, N, K\), построенный по точкам пересечения плоскости с ребрами призмы.

1. Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\). Точки \(M, N, K\) лежат соответственно на гранях \(AA_1C_1C\), \(AA_1B_1B\), \(BB_1C_1C\).

2. Найдем координаты точек \(M, N, K\) или расположение на ребрах, чтобы точно определить плоскость сечения. Пусть \(M\) лежит на ребре \(AA_1\), \(N\) на ребре \(AB\), \(K\) на ребре \(BC\).

3. Построим плоскость, проходящую через три точки \(M, N, K\). Уравнение плоскости можно найти из векторного уравнения: если \( \overrightarrow{MN} \) и \( \overrightarrow{MK} \) — векторы, то нормальный вектор плоскости \( \vec{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} \).

4. Запишем уравнение плоскости в виде \(n_x (x — x_M) + n_y (y — y_M) + n_z (z — z_M) = 0\), где \((x_M, y_M, z_M)\) — координаты точки \(M\), а \(n_x, n_y, n_z\) — компоненты нормального вектора.

5. Найдем пересечения плоскости с ребрами призмы, не содержащими точки \(M, N, K\). Для каждого ребра параметризуем точку и подставляем в уравнение плоскости, чтобы найти параметр пересечения.

6. На ребре \(AB\) найдём точку пересечения \(P\), решив уравнение плоскости для параметра вдоль \(AB\).

7. Аналогично на ребре \(AC\) найдем точку пересечения \(Q\).

8. На верхних ребрах \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\) найдём точки пересечения \(R\) и \(S\) соответственно.

9. Соединим точки пересечения: \(P, Q, R, S\) и исходные точки \(M, N, K\) линиями. Получится многоугольник, который является сечением призмы плоскостью \(MNK\).

10. Итог: сечение призмы плоскостью \(MNK\) — многоугольник с вершинами \(P, Q, R, S, M, N, K\), построенный по точкам пересечения плоскости с ребрами призмы и заданными точками на гранях.