ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямая \( a \) параллельна плоскости \( \alpha \). Верно ли утверждение, что прямая \( a \) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости \( \alpha \)?

Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Это означает, что прямая \(a\) не пересекает плоскость \(\alpha\) и не лежит в ней.

Если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), то она параллельна любой прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\).

Кратко: из \(a \parallel \alpha\) следует, что \(a \parallel b\) для любой прямой \(b\), лежащей в \(\alpha\).

1. Пусть прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). По определению параллельности прямой и плоскости, это означает, что прямая \(a\) не пересекает плоскость \(\alpha\).

2. Рассмотрим любую прямую \(b\), лежащую в плоскости \(\alpha\). По условию, \(b \subset \alpha\).

3. Если прямая \(a\) была бы не параллельна прямой \(b\), то либо они пересекались бы в некоторой точке, либо имели бы общие точки.

4. Но так как \(a\) не пересекает плоскость \(\alpha\), а прямая \(b\) лежит в \(\alpha\), пересечение \(a\) и \(b\) невозможно.

5. Следовательно, прямая \(a\) не пересекает прямую \(b\).

6. Если две прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, то они либо параллельны, либо скрещиваются.

7. Поскольку \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), она не может скрещиваться с любой прямой \(b\), лежащей в \(\alpha\).

8. Значит, прямая \(a\) параллельна любой прямой \(b\), лежащей в плоскости \(\alpha\).

9. Таким образом, из условия \(a \parallel \alpha\) следует, что \(a \parallel b\) для любой прямой \(b \subset \alpha\).

10. Итог: утверждение верно.