ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания трапеции равны 12 см и 18 см, а одна из диагоналей — 20 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей трапеции делит данную диагональ.

Дано: \(BC = 12\), \(AD = 18\), \(BD = 20\). Найти \(BO\) и \(OD\).

\( \triangle BOC \sim \triangle AOD \) по двум углам.

Тогда \(\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\).

Пусть \(BO = x\), тогда \(OD = 20 — x\).

Запишем пропорцию: \(\frac{x}{20 — x} = \frac{2}{3}\).

Перемножим: \(3x = 2(20 — x)\).

Раскроем скобки: \(3x = 40 — 2x\).

Сложим: \(3x + 2x = 40\).

Получим: \(5x = 40\).

Найдем \(x\): \(x = 8\).

Тогда \(BO = 8\), \(OD = 20 — 8 = 12\).

1. В трапеции \(ABCD\) основания \(BC\) и \(AD\) равны соответственно 12 см и 18 см. Диагональ \(BD\) равна 20 см. Нужно найти, на какие отрезки делится диагональ \(BD\) точкой пересечения диагоналей \(O\).

2. Из свойства трапеции известно, что точка пересечения диагоналей делит их пропорционально основаниям. Значит, отношение отрезков \(BO\) и \(OD\) равно отношению оснований \(BC\) и \(AD\), то есть \(\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD}\).

3. Подставим известные значения: \(\frac{BO}{OD} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\).

4. Обозначим \(BO = x\), тогда \(OD = 20 — x\), так как сумма отрезков равна длине диагонали.

5. Запишем уравнение пропорции: \(\frac{x}{20 — x} = \frac{2}{3}\).

6. Перемножим крест-накрест: \(3x = 2(20 — x)\).

7. Раскроем скобки: \(3x = 40 — 2x\).

8. Перенесём все слагаемые с \(x\) в одну сторону: \(3x + 2x = 40\).

9. Сложим левую часть: \(5x = 40\).

10. Найдём \(x\), разделив обе части на 5: \(x = 8\). Значит, \(BO = 8\) см, а \(OD = 20 — 8 = 12\) см.