Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Боковые стороны прямоугольной трапеции относятся как 3 : 5, а разность оснований равна 16 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 13 см.
Пусть \(AD = 3x\), \(BC = 5x\), \(CD = 5x\), \(AB = 3x\). Разность оснований \(CD — AB = 16\), значит \(5x — 3x = 16\), откуда \(2x = 16\), \(x = 8\).
Тогда \(AD = 24\), \(BC = 40\).
Из треугольника \(ABC\) по теореме Пифагора \(BC^2 = AC^2 — AB^2\), то есть \(40^2 = 13^2 — (3x)^2\) — это неверно, исправим:
В треугольнике \(ABC\) по теореме Пифагора \(BC^2 = AC^2 — AB^2\) не подходит, лучше использовать длины из условия.
Воспользуемся формулой для высоты трапеции: \(h = \sqrt{AD^2 — \left(\frac{CD — AB}{2}\right)^2} = \sqrt{24^2 — 8^2} = \sqrt{576 — 64} = \sqrt{512} = 16\sqrt{2}\).
Площадь трапеции: \(S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h = \frac{(24 + 40)}{2} \times 16\sqrt{2} = 32 \times 16\sqrt{2} = 512\sqrt{2}\).
Ответ: \(S = 512\sqrt{2} \text{ см}^2\).
1. Пусть боковые стороны трапеции \(AD = 3x\) и \(BC = 5x\).
2. Основания трапеции обозначим \(AB = a\), тогда \(CD = a + 16\), так как разность оснований равна 16.
3. Из условия известно, что диагональ \(AC = 13\).
4. Высота трапеции обозначим \(h\). По свойству трапеции высота одинакова для обоих боковых треугольников.
5. В треугольнике \(ADC\) по теореме Пифагора: \(AD^2 = h^2 + \left(\frac{CD — AB}{2}\right)^2\), то есть \( (3x)^2 = h^2 + 8^2 \), откуда \(h^2 = 9x^2 — 64\).
6. В треугольнике \(ABC\) по теореме Пифагора: \(AC^2 = h^2 + \left(\frac{CD + AB}{2}\right)^2\), то есть \(13^2 = h^2 + (a + 8)^2\).
7. Подставляем \(h^2\) из шага 5 во второе уравнение: \(169 = 9x^2 — 64 + (a + 8)^2\), откуда \(233 = 9x^2 + (a + 8)^2\).
8. Аналогично для треугольника \(BCD\) по теореме Пифагора: \(BC^2 = h^2 + 16^2\), то есть \((5x)^2 = h^2 + 256\). Подставляем \(h^2 = 9x^2 — 64\), получаем \(25x^2 = 9x^2 — 64 + 256\), откуда \(16x^2 = 192\), значит \(x^2 = 12\).
9. Подставляем \(x^2 = 12\) в уравнение из шага 7: \(233 = 9 \times 12 + (a + 8)^2\), откуда \((a + 8)^2 = 125\), значит \(a + 8 = 5 \sqrt{5}\), отсюда \(a = 5 \sqrt{5} — 8\).
10. Площадь трапеции равна \(S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h = (a + 8) \times \sqrt{h^2} = 5 \sqrt{5} \times \sqrt{44} = 5 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{11} = 10 \sqrt{55}\).
