ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямые \( a \) и \( b \) пересекаются, а плоскость \( \alpha \) параллельна прямой \( a \). Каким может быть взаимное расположение прямой \( b \) и плоскости \( \alpha \)?

Дано: \( a \cap b \neq \emptyset \), \( \alpha \parallel a \). Тогда \( b \cap \alpha \neq \emptyset \).

1. Даны две прямые \( a \) и \( b \), которые пересекаются, то есть \( a \cap b \neq \emptyset \). Это означает, что у них есть общая точка.

2. Дана плоскость \( \alpha \), которая параллельна прямой \( a \), то есть \( \alpha \parallel a \). Значит прямая \( a \) либо лежит в плоскости \( \alpha \), либо не пересекает её.

3. Так как \( a \) и \( b \) пересекаются, то точка пересечения принадлежит обеим прямым.

4. Если плоскость \( \alpha \) параллельна \( a \), то она не может проходить через точку пересечения \( a \) и \( b \), если \( a \) не лежит в \( \alpha \).

5. Но точка пересечения \( a \) и \( b \) лежит на \( b \), и если \( a \) параллельна \( \alpha \), то \( b \) должна пересекать \( \alpha \) в этой точке или в другой.

6. Значит прямая \( b \) обязательно пересекает плоскость \( \alpha \), то есть \( b \cap \alpha \neq \emptyset \).

7. Если бы \( b \) не пересекала \( \alpha \), то \( b \) была бы параллельна \( \alpha \), но тогда не могла бы пересекаться с \( a \), которая параллельна \( \alpha \).

8. Следовательно, из условия \( a \cap b \neq \emptyset \) и \( \alpha \parallel a \) следует, что \( b \cap \alpha \neq \emptyset \).

9. Таким образом, прямая \( b \) пересекает плоскость \( \alpha \).

10. Итог: \( a \cap b \neq \emptyset \), \( \alpha \parallel a \Rightarrow b \cap \alpha \neq \emptyset \).