ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( M \) и \( K \) — середины соответственно сторон \( AB \) и \( BC \) треугольника \( ABC \). Точка \( D \) не принадлежит плоскости \( ABC \). Докажите, что \( MK \parallel ADC \).

\( M \) и \( K \) — середины \( AB \) и \( BC \), значит \( MK \) — средняя линия в треугольнике \( ABC \). По свойству средней линии \( MK \parallel AC \).

Точка \( D \) не лежит в плоскости \( ABC \), значит плоскость \( ADC \) содержит \( AC \) и \( D \).

Поскольку \( MK \parallel AC \) и \( AC \subset ADC \), то \( MK \parallel ADC \).

1. Точки \( M \) и \( K \) — середины сторон \( AB \) и \( BC \) треугольника \( ABC \).

2. По теореме о средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен половине её длины. Значит, \( MK \parallel AC \) и \( MK = \frac{1}{2} AC \).

3. Точка \( D \) не лежит в плоскости \( ABC \), значит она лежит вне этой плоскости.

4. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки \( A \), \( D \) и \( C \). В этой плоскости лежит отрезок \( AC \).

5. Поскольку \( MK \parallel AC \), а \( AC \) лежит в плоскости \( ADC \), то прямая \( MK \) параллельна некоторой прямой в плоскости \( ADC \).

6. Прямая \( MK \) лежит в плоскости \( ABC \), которая не совпадает с плоскостью \( ADC \), так как точка \( D \) вне плоскости \( ABC \).

7. Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, и не пересекает эту плоскость, то она параллельна самой плоскости.

8. Следовательно, \( MK \parallel \) плоскости \( ADC \).

9. Таким образом, доказано, что прямая, соединяющая середины \( AB \) и \( BC \), параллельна плоскости, проходящей через \( A \), \( D \) и \( C \).

10. Итог: \( MK \parallel ADC \).