ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекают сторону \(BA\) угла \(ABC\) в точках \(A_1\) и \(A_2\) соответственно, а сторону \(BC\) — в точках \(C_1\) и \(C_2\) соответственно. Найдите:

1) отрезок \(A_1C_1\), если \(A_2C_1 = 36\) см, \(BA_1 : BA_2 = 5 : 9\);

2) отрезок \(C_1C_2\), если \(A_1C_1 = 14\) см, \(AC_2 = 21\) см, \(BC_1 = 12\) см.

1) \( \frac{A_1C_1}{A_2C_1} = \frac{BA_1}{BA_2} \)
\( \frac{A_1C_1}{36} = \frac{5}{9} \)
\( A_1C_1 = 36 \cdot \frac{5}{9} = 20 \) см

2) \( \frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{BC_1}{BC_2} \)
\( \frac{14}{21} = \frac{12}{BC_2} \)
\( BC_2 = \frac{21 \cdot 12}{14} = 18 \) см
\( C_1C_2 = BC_2 — BC_1 = 18 — 12 = 6 \) см

1) Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, значит отрезки на сторонах угла пропорциональны. По условию, плоскости пересекают сторону \(BA\) в точках \(A_1\) и \(A_2\), а сторону \(BC\) в точках \(C_1\) и \(C_2\). Тогда выполняется пропорция:
\( \frac{A_1C_1}{A_2C_1} = \frac{BA_1}{BA_2} \).

2) Подставим известные значения:
\( \frac{A_1C_1}{36} = \frac{5}{9} \).

3) Найдём \(A_1C_1\), умножив обе части равенства на 36:
\( A_1C_1 = 36 \cdot \frac{5}{9} = 36 \cdot \frac{5}{9} = 20 \) см.

4) Для второго задания используем аналогичную пропорцию для отрезков на стороне \(BC\):
\( \frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{BC_1}{BC_2} \).

5) Из условия известно, что \(A_1C_1 = 14\) см, \(AC_2 = 21\) см, \(BC_1 = 12\) см. Подставим эти значения:
\( \frac{14}{21} = \frac{12}{BC_2} \).

6) Найдём \(BC_2\), умножив крест-накрест:
\( BC_2 = \frac{21 \cdot 12}{14} = \frac{252}{14} = 18 \) см.

7) Теперь найдём длину отрезка \(C_1C_2\), вычтя из \(BC_2\) длину \(BC_1\):
\( C_1C_2 = BC_2 — BC_1 = 18 — 12 = 6 \) см.