Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), точки \(C\) и \(D\) — в плоскости \(\beta\). Отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).
1) Докажите, что \(AO = OD\).
2) Найдите отрезок \(AB\), если \(CD = 32\) см, \(AC : AO = 7 : 3\).
Дано: \( \alpha \parallel \beta \), \( A, B \in \alpha \), \( C, D \in \beta \), отрезки \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \).
1) Докажем, что \( AO = OD \).
Треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle DOC \) подобны, так как углы при пересечении равны и соответствующие стороны пропорциональны.
Из подобия имеем \( \frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC} \).
Так как \( BO \) и \( OC \) лежат на параллельных плоскостях и отрезках, то \( \frac{BO}{OC} = 1 \), следовательно \( AO = OD \).
2) Найдём \( AB \), если \( CD = 32 \) см, \( AC : AO = 7 : 3 \).
Пусть \( AO = x \), тогда \( AC = \frac{7}{3}x \).
Тогда \( OC = AC — AO = \frac{7}{3}x — x = \frac{4}{3}x \).
Из подобия треугольников \( \triangle AOB \sim \triangle DOC \):
\( \frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC} = \frac{x}{\frac{4}{3}x} = \frac{3}{4} \).
Отсюда \( AB = CD \times \frac{3}{4} = 32 \times \frac{3}{4} = 24 \) см.
1) Рассмотрим две параллельные плоскости \( \alpha \) и \( \beta \). В плоскости \( \alpha \) находятся точки \( A \) и \( B \), а в плоскости \( \beta \) — точки \( C \) и \( D \). Отрезки \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \). Поскольку плоскости параллельны, углы между соответствующими отрезками в точке пересечения равны. Это важное свойство позволяет рассмотреть треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle DOC \) и доказать их подобие. Углы при вершинах \( O \) равны, так как это вертикальные углы, а углы при точках \( A \) и \( D \) равны, так как они лежат в параллельных плоскостях и соответствуют друг другу. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
2) Из подобия треугольников \( \triangle AOB \sim \triangle DOC \) следует, что соответствующие стороны пропорциональны. Значит, отношение \( \frac{AO}{OD} \) равно отношению \( \frac{BO}{OC} \). Однако, поскольку точки \( B \) и \( C \) лежат в параллельных плоскостях, отрезки \( BO \) и \( OC \) равны по длине или пропорциональны с коэффициентом 1. Это значит, что \( \frac{BO}{OC} = 1 \). Подставляя это в равенство пропорций, получаем \( \frac{AO}{OD} = 1 \), то есть \( AO = OD \). Таким образом, точка \( O \) делит отрезки \( AC \) и \( BD \) пополам.
3) Теперь найдём длину отрезка \( AB \), если известно, что \( CD = 32 \) см и отношение \( AC : AO = 7 : 3 \). Обозначим \( AO = x \), тогда \( AC = \frac{7}{3} x \). Поскольку \( AC = AO + OC \), найдём \( OC = AC — AO = \frac{7}{3} x — x = \frac{4}{3} x \). Из подобия треугольников следует, что отношение \( \frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC} = \frac{x}{\frac{4}{3} x} = \frac{3}{4} \). Подставляя \( CD = 32 \) см, получаем \( AB = 32 \times \frac{3}{4} = 24 \) см. Таким образом, длина отрезка \( AB \) равна 24 см.
