Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
Дано: куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
Докажем, что плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
1. Рассмотрим ребра куба: \(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1\).
2. В плоскости \(ACB_1\) есть отрезки \(AC\) и \(CB_1\).
3. В плоскости \(A_1C_1D\) есть отрезки \(A_1C_1\) и \(C_1D\).
4. Поскольку \(AC \parallel A_1C_1\) (диагонали параллельных граней) и \(CB_1 \parallel C_1D\) (ребра куба), то две пары направляющих векторов плоскостей параллельны.
5. Значит, плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
1. Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Его нижняя грань — квадрат \(ABCD\), а верхняя грань — квадрат \(A_1B_1C_1D_1\), расположенный параллельно нижней.
2. Плоскость \(ACB_1\) проходит через точки \(A\), \(C\) и \(B_1\). В этой плоскости можно выделить два направления: вектор \(\overrightarrow{AC}\), соединяющий точки \(A\) и \(C\), и вектор \(\overrightarrow{AB_1}\), соединяющий точки \(A\) и \(B_1\).
3. Плоскость \(A_1C_1D\) проходит через точки \(A_1\), \(C_1\) и \(D\). В этой плоскости выделим два направления: вектор \(\overrightarrow{A_1C_1}\), соединяющий точки \(A_1\) и \(C_1\), и вектор \(\overrightarrow{A_1D}\), соединяющий точки \(A_1\) и \(D\).
4. В кубе ребра параллельны и равны по длине. Значит, векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\) параллельны, так как это диагонали соответствующих граней, лежащих в параллельных плоскостях.
5. Аналогично, векторы \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1D}\) параллельны, так как \(AB_1\) — ребро, соединяющее нижнюю и верхнюю грань, а \(A_1D\) — ребро нижней грани, смещённое вверх.
6. Теперь рассмотрим нормали к плоскостям. Нормаль к плоскости \(ACB_1\) равна векторному произведению \(\vec{n}_1 = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB_1}\).
7. Нормаль к плоскости \(A_1C_1D\) равна \(\vec{n}_2 = \overrightarrow{A_1C_1} \times \overrightarrow{A_1D}\).
8. Поскольку \(\overrightarrow{AC} \parallel \overrightarrow{A_1C_1}\) и \(\overrightarrow{AB_1} \parallel \overrightarrow{A_1D}\), то векторные произведения \(\vec{n}_1\) и \(\vec{n}_2\) тоже параллельны.
9. Параллельность нормалей означает, что плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
10. Таким образом, доказано, что плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
