ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На ребре \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MB = 1 : 2\) (рис. 6.14). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) и параллельной плоскости \(ACC_1\). Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).

Дано: куб с ребром \( a \), точка \( M \) на ребре \( AB \) так, что \( AM : MB = 1 : 2 \).

Координаты: \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( M\left(\frac{a}{3},0,0\right) \).

Плоскость \( ACC_1 \) имеет уравнение \( x — y = 0 \).

Параллельная плоскость через \( M \): \( x — y — \frac{a}{3} = 0 \).

Находим точки пересечения с ребрами куба:

\( M\left(\frac{a}{3},0,0\right) \), \( N\left(a,\frac{2a}{3},0\right) \), \( Q\left(a,\frac{2a}{3},a\right) \), \( P\left(\frac{a}{3},0,a\right) \).

Длины сторон:

\( MN = \sqrt{\left(a — \frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3} — 0\right)^2} = \frac{2a}{3} \sqrt{2} \),

\( NQ = a \),

\( QP = \frac{2a}{3} \sqrt{2} \),

\( PM = a \).

Периметр сечения:

\( P = MN + NQ + QP + PM = 2a + \frac{4a}{3} \sqrt{2} = \frac{2a}{3} (3 + 2 \sqrt{2}) \).

1. Дано куб с ребром \( a \). Обозначим вершины куба: \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( C(a,a,0) \), \( D(0,a,0) \), \( A_1(0,0,a) \), \( B_1(a,0,a) \), \( C_1(a,a,a) \), \( D_1(0,a,a) \).

2. Точка \( M \) лежит на ребре \( AB \) и делит его в отношении \( AM : MB = 1 : 2 \). Значит координаты \( M \) равны \( \left(\frac{a}{3}, 0, 0\right) \).

3. Плоскость \( ACC_1 \) проходит через точки \( A(0,0,0) \), \( C(a,a,0) \), \( C_1(a,a,a) \).

4. Найдем векторы в плоскости: \( \vec{AC} = (a,a,0) \), \( \vec{AC_1} = (a,a,a) \).

5. Найдем нормаль к плоскости \( ACC_1 \) как векторное произведение \( \vec{AC} \times \vec{AC_1} \):
\(\vec{n} = (a^2, -a^2, 0) \sim (1, -1, 0)\).

6. Уравнение плоскости \( ACC_1 \) имеет вид \( x — y = 0 \).

7. Плоскость, параллельная \( ACC_1 \) и проходящая через точку \( M \), имеет уравнение \( x — y + d = 0 \). Подставим координаты \( M \): \( \frac{a}{3} — 0 + d = 0 \), откуда \( d = -\frac{a}{3} \). Значит уравнение искомой плоскости \( x — y — \frac{a}{3} = 0 \).

8. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

— Ребро \( AB \): \( y=0, z=0 \), тогда \( x = \frac{a}{3} \), точка \( M \).

— Ребро \( BC \): \( x=a, z=0 \), тогда \( a — y — \frac{a}{3} = 0 \Rightarrow y = \frac{2a}{3} \), точка \( N(a, \frac{2a}{3}, 0) \).

— Ребро \( A_1 B_1 \): \( y=0, z=a \), тогда \( x — 0 — \frac{a}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{3} \), точка \( P\left(\frac{a}{3}, 0, a\right) \).

— Ребро \( B_1 C_1 \): \( x=a, z=a \), тогда \( a — y — \frac{a}{3} = 0 \Rightarrow y = \frac{2a}{3} \), точка \( Q\left(a, \frac{2a}{3}, a\right) \).

9. Точки сечения: \( M\left(\frac{a}{3}, 0, 0\right) \), \( N\left(a, \frac{2a}{3}, 0\right) \), \( Q\left(a, \frac{2a}{3}, a\right) \), \( P\left(\frac{a}{3}, 0, a\right) \).

10. Найдем длины сторон сечения:

— \( MN = \sqrt{\left(a — \frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3} — 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3}\right)^2} = \frac{2a}{3} \sqrt{2} \).

— \( NQ = \sqrt{(a — a)^2 + \left(\frac{2a}{3} — \frac{2a}{3}\right)^2 + (a — 0)^2} = a \).

— \( QP = \sqrt{\left(a — \frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3} — 0\right)^2} = \frac{2a}{3} \sqrt{2} \).

— \( PM = \sqrt{( \frac{a}{3} — \frac{a}{3})^2 + (0 — 0)^2 + (a — 0)^2} = a \).

Периметр сечения равен \( P = MN + NQ + QP + PM = \frac{2a}{3} \sqrt{2} + a + \frac{2a}{3} \sqrt{2} + a = 2a + \frac{4a}{3} \sqrt{2} = \frac{2a}{3} (3 + 2 \sqrt{2}) \).