ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На ребре \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MB = 1 : 2\) (рис. 6.14). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) и параллельной плоскости \(ACC_1\). Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).

Дано: куб с ребром \(a\), точка \(M\) на ребре \(AB\) так, что \(AM : MB = 1 : 2\), значит \(M\left(\frac{a}{3}, 0, 0\right)\). Плоскость \(ACC_1\) имеет уравнение \(x — y = 0\). Плоскость, параллельная ей и проходящая через \(M\), имеет уравнение \(x — y = \frac{a}{3}\).

Находим точки пересечения плоскости с ребрами куба:

\(M\left(\frac{a}{3}, 0, 0\right)\),

\(N\left(a, \frac{2a}{3}, 0\right)\),

\(Q\left(a, \frac{2a}{3}, a\right)\),

\(P\left(\frac{a}{3}, 0, a\right)\).

Длины сторон сечения:

\(MN = \sqrt{\left(a — \frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3} — 0\right)^2} = \frac{a}{3} \sqrt{13}\),

\(NQ = a\),

\(QP = \frac{a}{3} \sqrt{13}\),

\(PM = a\).

Периметр сечения:

\(P = MN + NQ + QP + PM = 2a + \frac{2a}{3} \sqrt{13} = 2a \left(1 + \frac{\sqrt{13}}{3}\right)\).

1. Дано куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром \( a \). Точка \( M \) лежит на ребре \( AB \) и делит его в отношении \( AM : MB = 1 : 2 \). Значит координаты \( M \) равны \( \left(\frac{a}{3}, 0, 0\right) \).

2. Плоскость \( ACC_1 \) задана тремя точками: \( A(0,0,0) \), \( C(a,a,0) \), \( C_1(a,a,a) \). Найдём векторы \( \overrightarrow{AC} = (a, a, 0) \) и \( \overrightarrow{AC_1} = (a, a, a) \).

3. Найдём нормальный вектор к плоскости \( ACC_1 \) через векторное произведение: \( \mathbf{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AC_1} = (a^2, -a^2, 0) = a^2 (1, -1, 0) \).

4. Уравнение плоскости \( ACC_1 \), проходящей через \( A \), имеет вид \( x — y = 0 \).

5. Плоскость, параллельная \( ACC_1 \) и проходящая через \( M \), имеет уравнение \( x — y = d \). Подставляя \( M\left(\frac{a}{3}, 0, 0\right) \), получаем \( d = \frac{a}{3} \). Значит уравнение искомой плоскости: \( x — y = \frac{a}{3} \).

6. Найдём точки пересечения плоскости с ребрами куба:

— На ребре \( AB \) (где \( y = 0, z = 0 \)), \( x = \frac{a}{3} \), точка \( M \).

— На ребре \( BC \) (где \( x = a, z = 0 \)), \( a — y = \frac{a}{3} \Rightarrow y = \frac{2a}{3} \), точка \( N = \left(a, \frac{2a}{3}, 0\right) \).

— На ребре \( B_1C_1 \) (где \( x = a, z = a \)), \( a — y = \frac{a}{3} \Rightarrow y = \frac{2a}{3} \), точка \( Q = \left(a, \frac{2a}{3}, a\right) \).

— На ребре \( A_1B_1 \) (где \( y = 0, z = a \)), \( x = \frac{a}{3} \), точка \( P = \left(\frac{a}{3}, 0, a\right) \).

7. Получили четырёхугольник \( MNQP \) с вершинами \( M\left(\frac{a}{3}, 0, 0\right) \), \( N\left(a, \frac{2a}{3}, 0\right) \), \( Q\left(a, \frac{2a}{3}, a\right) \), \( P\left(\frac{a}{3}, 0, a\right) \).

8. Найдём длины сторон:

\( MN = \sqrt{\left(a — \frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3} — 0\right)^2 + (0 — 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3}\right)^2} = \frac{2a}{3} \sqrt{2} \).

\( NQ = \sqrt{(a — a)^2 + \left(\frac{2a}{3} — \frac{2a}{3}\right)^2 + (a — 0)^2} = a \).

\( QP = \sqrt{\left(\frac{a}{3} — a\right)^2 + (0 — \frac{2a}{3})^2 + (a — a)^2} = \sqrt{\left(-\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2a}{3}\right)^2} = \frac{2a}{3} \sqrt{2} \).

\( PM = \sqrt{\left(\frac{a}{3} — \frac{a}{3}\right)^2 + (0 — 0)^2 + (a — 0)^2} = a \).

9. Периметр сечения равен сумме длин сторон:

\( P = MN + NQ + QP + PM = \frac{2a}{3} \sqrt{2} + a + \frac{2a}{3} \sqrt{2} + a = 2a + \frac{4a}{3} \sqrt{2} \).

10. Итоговый ответ:

\( P = 2a \left(1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}\right) \).