ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 6.15). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) и параллельной плоскости \(ABC\). Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).

\(P_{\text{ками}} = 2(KM + KL) = 2 \left( a + \frac{a \sqrt{2}}{2} \right) = 2a + a \sqrt{2} = a (2 + \sqrt{2})\)

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром \( a \). Точка \( M \) — середина ребра \( CC_1 \), значит \( CM = MC_1 = \frac{a}{2} \).

2. Плоскость проходит через точку \( M \) и параллельна плоскости основания \( ABC \). Значит, эта плоскость горизонтальна и расположена на высоте \( \frac{a}{2} \) над основанием.

3. Рассмотрим ребра \( AA_1, BB_1, CC_1, DD_1 \). Плоскость пересекает их в точках, лежащих на высоте \( \frac{a}{2} \). Обозначим эти точки как \( K, L, M, N \) соответственно.

4. Точки \( K, L, M, N \) образуют квадрат, параллельный основанию, со стороной равной \( a \).

5. Найдём длины отрезков \( KM \) и \( KL \). Отрезок \( KM \) — это ребро куба, длина которого равна \( a \).

6. Отрезок \( KL \) — диагональ квадрата основания, делённая пополам, так как \( K \) и \( L \) находятся на серединах ребер. Диагональ квадрата основания равна \( a \sqrt{2} \), значит \( KL = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).

7. Периметр сечения равен сумме всех сторон. Так как сечение — четырёхугольник с двумя сторонами \( KM \) и двумя сторонами \( KL \), то

\( P_{\text{ками}} = 2(KM + KL) = 2 \left( a + \frac{a \sqrt{2}}{2} \right) \).

8. Раскроем скобки:

\( P_{\text{ками}} = 2a + a \sqrt{2} \).

9. Вынесем \( a \) за скобки:

\( P_{\text{ками}} = a(2 + \sqrt{2}) \).

10. Таким образом, периметр сечения равен \( a(2 + \sqrt{2}) \).