Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рёбрах \(AA_1\) и \(AD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\), а на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\) — точку \(N\) (рис. 6.16). Постройте сечение куба плоскостью \(MNK\).
Пусть ребро куба равно 1, вершины: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).
Точки: \(M(0,0,m)\) на \(AA_1\), \(K(0,k,0)\) на \(AD\), \(N(1,0,1+n)\) на продолжении \(BB_1\).
Векторы: \(\overrightarrow{MN} = (1,0,1+n — m)\), \(\overrightarrow{MK} = (0,k,-m)\).
Нормаль плоскости: \(\vec{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} = (-k, m, k)\).
Уравнение плоскости: \(-k x + m y + k z — k m = 0\).
Пересечения с рёбрами проверяются подстановкой координат, например, с \(BC\): \(x=1, z=0\), тогда \(y = \frac{k(1+m)}{m}\).
Сечение куба плоскостью \(MNK\) — многоугольник, образованный точками \(M\), \(N\), \(K\) и точками пересечения плоскости с рёбрами куба.
1. Пусть ребро куба равно 1. Координаты вершин зададим так: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).
2. Точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\), значит её координаты \(M(0,0,m)\), где \(0 < m < 1\).
3. Точка \(K\) лежит на ребре \(AD\), значит \(K(0,k,0)\), где \(0 < k < 1\).
4. Точка \(N\) лежит на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\), значит \(N(1,0,1+n)\), где \(n > 0\).
5. Найдём векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MK}\): \(\overrightarrow{MN} = (1-0, 0-0, 1+n — m) = (1,0,1+n — m)\), \(\overrightarrow{MK} = (0-0, k-0, 0 — m) = (0,k,-m)\).
6. Найдём нормальный вектор плоскости \(\vec{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1+n — m \\ 0 & k & -m \end{vmatrix} = (-k, m, k)\).
7. Уравнение плоскости через точку \(M\) и нормальный вектор \(\vec{n}\): \(-k(x-0) + m(y-0) + k(z — m) = 0\), то есть \(-k x + m y + k z — k m = 0\).
8. Найдём пересечения плоскости с рёбрами куба:
— С ребром \(AB\): \(y=0, z=0\), подставим в уравнение: \(-k x — k m = 0 \Rightarrow x = -m\), что не лежит на отрезке \(AB\), значит пересечения нет.
— С ребром \(BC\): \(x=1, z=0\), подставим: \(-k \cdot 1 + m y — k m = 0 \Rightarrow m y = k + k m \Rightarrow y = \frac{k(1 + m)}{m}\). Если \(y \in [0,1]\), точка пересечения есть.
— С ребром \(CD\): \(y=1, z=0\), подставим: \(-k x + m \cdot 1 — k m = 0 \Rightarrow -k x = k m — m \Rightarrow x = \frac{m — k m}{k}\). Если \(x \in [0,1]\), точка пересечения есть.
— С ребром \(DD_1\): \(x=0, y=1\), подставим: \(-k \cdot 0 + m \cdot 1 + k z — k m = 0 \Rightarrow m + k z — k m = 0 \Rightarrow k z = k m — m \Rightarrow z = \frac{k m — m}{k}\). Если \(z \in [0,1]\), точка пересечения есть.
— С ребром \(A_1B_1\): \(y=0, z=1\), подставим: \(-k x + m \cdot 0 + k \cdot 1 — k m = 0 \Rightarrow -k x + k — k m = 0 \Rightarrow x = 1 — m\). Если \(x \in [0,1]\), точка пересечения есть.
9. Аналогично можно проверить остальные рёбра, но эти достаточно для построения сечения.
10. Соединяя точки \(M(0,0,m)\), \(K(0,k,0)\), \(N(1,0,1+n)\) и точки пересечения плоскости с рёбрами \(BC\), \(CD\), \(DD_1\), \(A_1B_1\), получаем многоугольник сечения куба плоскостью \(MNK\).
