Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(E\) принадлежит ребру \(B_1C_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте линию пересечения плоскостей \(ACC_1\) и \(BED\).
Пусть координаты куба: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\). Точка \(E\) на ребре \(B_1C_1\): \(E(1,t,1)\), где \(0 \leq t \leq 1\).
Плоскость \(ACC_1\) проходит через точки \(A(0,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(C_1(1,1,1)\). Найдём уравнение плоскости. Векторы \(\overrightarrow{AC} = (1,1,0)\), \(\overrightarrow{AC_1} = (1,1,1)\). Их векторное произведение \(\mathbf{n} = (1,-1,0)\). Уравнение плоскости: \(x — y = 0\).
Линия \(BD\) задана точками \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), параметрически: \((1 — s, s, 0)\). Подставим в уравнение плоскости: \(1 — s — s = 0 \Rightarrow s = \frac{1}{2}\). Точка пересечения \(P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)\).
Линия пересечения плоскостей — прямая через точки \(P\) и \(C_1(1,1,1)\).
1. Пусть куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) расположен в пространстве так, что \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).
2. Точка \(E\) лежит на ребре \(B_1C_1\), значит её координаты можно записать как \(E(1,t,1)\), где \(0 \leq t \leq 1\).
3. Рассмотрим плоскость \(ACC_1\), которая проходит через точки \(A(0,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(C_1(1,1,1)\).
4. Найдём два вектора, лежащих в плоскости \(ACC_1\): \(\overrightarrow{AC} = (1,1,0)\) и \(\overrightarrow{AC_1} = (1,1,1)\).
5. Найдём нормальный вектор к плоскости как векторное произведение: \(\mathbf{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AC_1} = (1,-1,0)\).
6. Запишем уравнение плоскости \(ACC_1\) с нормалью \(\mathbf{n} = (1,-1,0)\), проходящей через точку \(A(0,0,0)\): \(1 \cdot x — 1 \cdot y + 0 \cdot z = 0\), то есть \(x — y = 0\).
7. Рассмотрим линию \(BD\), проходящую через точки \(B(1,0,0)\) и \(D(0,1,0)\). Параметрическое уравнение линии: \((x,y,z) = (1 — s, s, 0)\), где \(s\) — параметр.
8. Подставим координаты линии \(BD\) в уравнение плоскости \(ACC_1: x — y = 0\): \(1 — s — s = 0 \Rightarrow 1 — 2s = 0 \Rightarrow s = \frac{1}{2}\).
9. Найдём точку пересечения линии \(BD\) с плоскостью \(ACC_1\): \(P\left(1 — \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)\).
10. Линия пересечения плоскостей \(ACC_1\) и \(BED\) проходит через точки \(P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)\) и \(C_1(1,1,1)\).
