Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(K\) принадлежит грани \(BCD\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 6.18). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(ABD\).
Пусть \(K\) — точка на грани \(BCD\). Плоскость \(ABD\) содержит точки \(A, B, D\). Через \(K\) проведём плоскость, параллельную \(ABD\).
Плоскость, параллельная \(ABD\), пересечёт ребра \(AB\) и \(AD\) в точках \(M\) и \(N\).
Найдём точки \(M\) и \(N\):
Пусть \(M\) лежит на \(AB\), тогда \(M = A + t (B — A)\), где \(t\) — число от 0 до 1.
Пусть \(N\) лежит на \(AD\), тогда \(N = A + s (D — A)\), где \(s\) — число от 0 до 1.
Плоскость через \(K\), параллельная \(ABD\), значит векторы \(MN\) и \(BD\) параллельны, так как \(BD\) лежит в плоскости \(ABD\).
Вектор \(BD = D — B\).
Вектор \(MN = N — M = (A + s(D — A)) — (A + t(B — A)) = s(D — A) — t(B — A)\).
Так как \(MN\) параллелен \(BD\), существует число \(\lambda\), что
\(s(D — A) — t(B — A) = \lambda (D — B)\).
Решая это уравнение с учётом координат точек, найдём \(t\) и \(s\).
Тогда сечение — треугольник \(K M N\).
1. Дано: тетраэдр \(DABC\) и точка \(K\), лежащая на грани \(BCD\). Нужно построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(K\) и параллельной плоскости \(ABD\).
2. Плоскость \(ABD\) задаётся точками \(A, B, D\). Векторное направление этой плоскости можно определить через векторы \(AB = B — A\) и \(AD = D — A\).
3. Плоскость, параллельная \(ABD\), должна иметь те же направляющие векторы, то есть быть параллельной векторному пространству, порождённому \(AB\) и \(AD\).
4. Через точку \(K\) проведём плоскость, параллельную \(ABD\). Эта плоскость пересечёт ребра \(AB\) и \(AD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.
5. Точка \(M\) лежит на отрезке \(AB\), значит \(M = A + t (B — A)\), где \(0 \leq t \leq 1\). Аналогично, точка \(N\) лежит на отрезке \(AD\), значит \(N = A + s (D — A)\), где \(0 \leq s \leq 1\).
6. Вектор \(MN = N — M = (A + s(D — A)) — (A + t(B — A)) = s(D — A) — t(B — A)\).
7. Поскольку плоскость через \(K\) параллельна \(ABD\), вектор \(MN\) должен быть параллелен вектору \(BD = D — B\). Значит существует число \(\lambda\), такое что \(s(D — A) — t(B — A) = \lambda (D — B)\).
8. Запишем это уравнение в координатах и решим систему для \(t\) и \(s\). После нахождения \(t\) и \(s\) определим точки \(M\) и \(N\).
9. Точки \(K, M, N\) лежат в искомой плоскости сечения. Соединив их, получим треугольник сечения.
10. Таким образом, сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через \(K\) и параллельной \(ABD\), — это треугольник \(K M N\).
