Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости \(\beta\), плоскость \(\beta\) параллельна плоскости \(\gamma\) (\(\alpha\) и \(\gamma\) — разные плоскости). Докажите, что плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) параллельны.
Пусть \(\alpha \parallel \beta\) и \(\beta \parallel \gamma\), при этом \(\alpha \neq \gamma\). Так как \(\alpha \parallel \beta\), то \(\alpha \cap \beta = \emptyset\). Аналогично, \(\beta \cap \gamma = \emptyset\). Если бы \(\alpha\) и \(\gamma\) пересекались, то линия пересечения лежала бы в обеих плоскостях и пересекала бы \(\beta\), что невозможно. Значит, \(\alpha \cap \gamma = \emptyset\), следовательно, \(\alpha \parallel \gamma\).
1. Пусть даны три плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) такие, что \(\alpha \parallel \beta\), \(\beta \parallel \gamma\), и при этом \(\alpha \neq \gamma\).
2. По определению параллельных плоскостей, если \(\alpha \parallel \beta\), то либо \(\alpha = \beta\), либо \(\alpha \cap \beta = \emptyset\). Так как \(\alpha \neq \beta\) (иначе противоречие с условием), то \(\alpha \cap \beta = \emptyset\).
3. Аналогично, из \(\beta \parallel \gamma\) и \(\beta \neq \gamma\) следует, что \(\beta \cap \gamma = \emptyset\).
4. Предположим, что \(\alpha\) и \(\gamma\) пересекаются, то есть существует линия пересечения \(l = \alpha \cap \gamma\).
5. Эта линия \(l\) принадлежит одновременно плоскостям \(\alpha\) и \(\gamma\).
6. Рассмотрим плоскость \(\beta\). Поскольку \(\beta\) параллельна \(\alpha\), то \(\beta \cap \alpha = \emptyset\), значит \(\beta\) не содержит линию \(l\).
7. Также \(\beta\) параллельна \(\gamma\), значит \(\beta \cap \gamma = \emptyset\), и \(\beta\) не содержит линию \(l\).
8. Но линия \(l\) лежит в обеих плоскостях \(\alpha\) и \(\gamma\), значит, если \(\alpha\) и \(\gamma\) пересекаются, то \(\beta\) должна пересекать хотя бы одну из них, что противоречит условиям параллельности.
9. Следовательно, предположение о пересечении \(\alpha\) и \(\gamma\) неверно, и они не пересекаются.
10. Так как \(\alpha \neq \gamma\) и \(\alpha \cap \gamma = \emptyset\), по определению плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) параллельны, то есть \(\alpha \parallel \gamma\).
