Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Прямая \(a\) и основание \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежат в плоскости \(\alpha\) (рис. 6.20). На ребре \(AD\) отметили точку \(E\), на ребре \(CC_1\) — точку \(F\). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой \(a\) и проходящей через точки \(E\) и \(F\).
Пусть прямая \(a\) задается вектором \(\vec{a}\), а точки \(E\) и \(F\) заданы на ребрах \(AD\) и \(CC_1\) соответственно. Плоскость сечения проходит через \(E\) и \(F\) и параллельна \(a\), значит, в плоскости лежат векторы \(\overrightarrow{EF}\) и \(\vec{a}\).
Найдем точки пересечения плоскости с другими ребрами параллелепипеда.
1. Вектор \(\overrightarrow{EF} = \vec{F} — \vec{E}\).
2. Плоскость задана точкой \(E\) и направляющими векторами \(\overrightarrow{EF}\) и \(\vec{a}\).
3. Для ребра \(AB\) параметрически: \(\vec{r} = \vec{A} + t \overrightarrow{AB}\), \(0 \leq t \leq 1\). Найдем \(t\), при котором \(\vec{r}\) лежит в плоскости.
4. Аналогично для ребра \(B_1C_1\): \(\vec{r} = \vec{B_1} + s \overrightarrow{B_1C_1}\), \(0 \leq s \leq 1\).
5. Полученные точки пересечения соединяем с \(E\) и \(F\), получая сечение.
Ответ: сечение — четырёхугольник, вершинами которого являются точки \(E\), \(F\), точка пересечения плоскости с ребром \(AB\) и точка пересечения с ребром \(B_1C_1\).
1. Пусть \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — прямоугольный параллелепипед с основанием \( ABCD \) в плоскости \(\alpha\). Прямая \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\). Точки \(E\) и \(F\) лежат на ребрах \(AD\) и \(CC_1\) соответственно.
2. Найдем координаты точек \(E\) и \(F\). Пусть \(E\) делит ребро \(AD\) в отношении \(k\), тогда \(E = A + k \overrightarrow{AD}\), где \(0 \leq k \leq 1\). Точка \(F\) на ребре \(CC_1\) задается параметром \(m\): \(F = C + m \overrightarrow{CC_1}\), где \(0 \leq m \leq 1\).
3. Вектор \(\overrightarrow{EF} = \vec{F} — \vec{E} = (C + m \overrightarrow{CC_1}) — (A + k \overrightarrow{AD})\).
4. Плоскость сечения должна проходить через точки \(E\) и \(F\) и быть параллельна прямой \(a\), значит, в плоскости лежат векторы \(\overrightarrow{EF}\) и \(\vec{a}\).
5. Уравнение плоскости можно задать точкой \(E\) и двумя направляющими векторами \(\overrightarrow{EF}\) и \(\vec{a}\). Вектор нормали к плоскости равен векторному произведению \(\vec{n} = \overrightarrow{EF} \times \vec{a}\).
6. Уравнение плоскости в общем виде: \((\vec{r} — \vec{E}) \cdot \vec{n} = 0\), где \(\vec{r}\) — произвольная точка плоскости.
7. Для нахождения пересечений плоскости с другими ребрами параллелепипеда подставим параметрические уравнения ребер в уравнение плоскости и найдем параметры, при которых точка принадлежит плоскости.
8. Например, для ребра \(AB\): \(\vec{r} = \vec{A} + t \overrightarrow{AB}\), \(0 \leq t \leq 1\). Подставляем в уравнение плоскости и находим \(t\). Если \(t\) лежит в пределах от 0 до 1, то точка пересечения есть.
9. Аналогично для ребра \(B_1C_1\): \(\vec{r} = \vec{B_1} + s \overrightarrow{B_1C_1}\), \(0 \leq s \leq 1\). Находим \(s\) из уравнения плоскости.
10. Соединяем точки \(E\), \(F\), точки пересечения с ребрами \(AB\) и \(B_1C_1\). Получаем четырёхугольник — искомое сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через \(E\) и \(F\) и параллельной прямой \(a\).
