ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рёбрах \(AD\), \(CD\) и \(B_1C_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(E\), \(F\) и \(K\) (рис. 6.22). Постройте сечение куба плоскостью \(EFK\).

Точки \(E\), \(F\), \(K\) лежат на рёбрах \(AD\), \(CD\), \(B_1C_1\).
Пусть длина ребра куба равна 1. Тогда
\(E = (0, e, 0)\), \(F = (f, 1, 0)\), \(K = (1, k, 1)\), где \(0 < e, f, k < 1\).

Векторы
\(\vec{EF} = (f, 1 — e, 0)\),
\(\vec{EK} = (1, k — e, 1)\).

Вектор нормали
\(\vec{n} = \vec{EF} \times \vec{EK} = ((1 — e), -f, f(k — e) — (1 — e))\).

Уравнение плоскости через точку \(E\):
\((1 — e)(x — 0) — f(y — e) + (f(k — e) — (1 — e))(z — 0) = 0\),
или
\((1 — e)x — f(y — e) + (f(k — e) — (1 — e))z = 0\).

Подставим координаты вершин куба и найдём точки пересечения плоскости с рёбрами:

Рёбра и их параметризация:
\(AB: (t, 0, 0), 0 \leq t \leq 1\)
\(BC: (1, t, 0), 0 \leq t \leq 1\)
\(CD: (1 — t, 1, 0), 0 \leq t \leq 1\)
\(DA: (0, 1 — t, 0), 0 \leq t \leq 1\)
\(A_1B_1: (t, 0, 1), 0 \leq t \leq 1\)
\(B_1C_1: (1, t, 1), 0 \leq t \leq 1\)
\(C_1D_1: (1 — t, 1, 1), 0 \leq t \leq 1\)
\(D_1A_1: (0, 1 — t, 1), 0 \leq t \leq 1\)
\(AA_1: (0, 0, t), 0 \leq t \leq 1\)
\(BB_1: (1, 0, t), 0 \leq t \leq 1\)
\(CC_1: (1, 1, t), 0 \leq t \leq 1\)
\(DD_1: (0, 1, t), 0 \leq t \leq 1\)

Найдем пересечения на рёбрах, подставляя в уравнение плоскости и проверяя, что параметр \(t\) лежит в \([0,1]\).

Например, для ребра \(AA_1\):
\(x=0, y=0, z=t\), подставим:
\((1 — e) \cdot 0 — f(0 — e) + (f(k — e) — (1 — e)) t = 0\),
\(-f(-e) + (f(k — e) — (1 — e)) t = 0\),
\(f e + (f(k — e) — (1 — e)) t = 0\),
отсюда
\(t = — \frac{f e}{f(k — e) — (1 — e)}\).
Если \(0 \leq t \leq 1\), точка пересечения есть.

Аналогично найти все остальные точки пересечения.

Соединив найденные точки пересечения, получаем искомое сечение куба плоскостью \(EFK\).

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с длиной ребра равной 1. Обозначим координаты вершин куба:
\( A = (0,0,0) \), \( B = (1,0,0) \), \( C = (1,1,0) \), \( D = (0,1,0) \),
\( A_1 = (0,0,1) \), \( B_1 = (1,0,1) \), \( C_1 = (1,1,1) \), \( D_1 = (0,1,1) \).

2. Точки \( E \), \( F \), \( K \) лежат на рёбрах \( AD \), \( CD \), \( B_1C_1 \) соответственно. Пусть
\( E = (0, e, 0) \), где \( 0 < e < 1 \),
\( F = (f, 1, 0) \), где \( 0 < f < 1 \),
\( K = (1, k, 1) \), где \( 0 < k < 1 \).

3. Найдём векторы \( \vec{EF} \) и \( \vec{EK} \):
\( \vec{EF} = F — E = (f — 0, 1 — e, 0 — 0) = (f, 1 — e, 0) \),
\( \vec{EK} = K — E = (1 — 0, k — e, 1 — 0) = (1, k — e, 1) \).

4. Вектор нормали к плоскости, проходящей через точки \( E, F, K \), равен векторному произведению
\( \vec{n} = \vec{EF} \times \vec{EK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ f & 1 — e & 0 \\ 1 & k — e & 1 \end{vmatrix} \).
Вычислим:
\( \vec{n} = \mathbf{i}((1 — e) \cdot 1 — 0 \cdot (k — e)) — \mathbf{j}(f \cdot 1 — 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(f(k — e) — (1 — e) \cdot 1) \),
то есть
\( \vec{n} = ((1 — e), -f, f(k — e) — (1 — e)) \).

5. Уравнение плоскости через точку \( E=(0,e,0) \) и нормаль \( \vec{n} \) записывается так:
\( (1 — e)(x — 0) — f(y — e) + (f(k — e) — (1 — e))(z — 0) = 0 \),
или
\( (1 — e) x — f(y — e) + (f(k — e) — (1 — e)) z = 0 \).

6. Чтобы построить сечение куба плоскостью, нужно найти точки пересечения этой плоскости с рёбрами куба. Рассмотрим каждое ребро и найдём пересечения.

7. Рёбра куба параметризуем:
\( AB: (t, 0, 0), 0 \leq t \leq 1 \),
\( BC: (1, t, 0), 0 \leq t \leq 1 \),
\( CD: (1 — t, 1, 0), 0 \leq t \leq 1 \),
\( DA: (0, 1 — t, 0), 0 \leq t \leq 1 \),
\( A_1B_1: (t, 0, 1), 0 \leq t \leq 1 \),
\( B_1C_1: (1, t, 1), 0 \leq t \leq 1 \),
\( C_1D_1: (1 — t, 1, 1), 0 \leq t \leq 1 \),
\( D_1A_1: (0, 1 — t, 1), 0 \leq t \leq 1 \),
\( AA_1: (0, 0, t), 0 \leq t \leq 1 \),
\( BB_1: (1, 0, t), 0 \leq t \leq 1 \),
\( CC_1: (1, 1, t), 0 \leq t \leq 1 \),
\( DD_1: (0, 1, t), 0 \leq t \leq 1 \).

8. Найдём пересечение с ребром \( AA_1 \), где \( x=0, y=0, z=t \):
Подставим в уравнение плоскости:
\( (1 — e) \cdot 0 — f(0 — e) + (f(k — e) — (1 — e)) t = 0 \),
\( -f(-e) + (f(k — e) — (1 — e)) t = 0 \),
\( f e + (f(k — e) — (1 — e)) t = 0 \),
отсюда
\( t = — \frac{f e}{f(k — e) — (1 — e)} \).
Если \( 0 \leq t \leq 1 \), то точка пересечения есть.

9. Аналогично найдём пересечения для остальных рёбер, подставляя их параметры в уравнение плоскости и проверяя, что параметр \( t \) лежит в отрезке \([0,1]\).

10. Соединив все найденные точки пересечения, получаем многоугольник — сечение куба плоскостью, проходящей через точки \( E, F, K \).