Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рёбрах \(AA_1\), \(AB\) и \(CD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\) (рис. 6.23). Постройте сечение куба плоскостью \(MNK\).
На ребре \(AA_1\) точка \(M\) делит ребро в отношении \(AM : MA_1 = 1 : 2\).
На ребре \(AB\) точка \(N\) делит ребро в отношении \(AN : NB = 1 : 3\).
На ребре \(CD\) точка \(K\) делит ребро в отношении \(DK : KC = 1 : 3\).
Плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(P\), ребро \(C_1D_1\) в точке \(Q\), ребро \(B_1C_1\) в точке \(R\), ребро \(B_1A_1\) в точке \(S\).
Точки пересечения найдём, используя подобие треугольников и соотношения отрезков.
Сечение куба плоскостью \(MNK\) — многоугольник \(MNPQRS\).
1. На ребре \(AA_1\) точка \(M\) делит ребро в отношении \(AM : MA_1 = 1 : 2\), то есть \(M\) находится на расстоянии \(\frac{1}{3}\) от точки \(A\) к \(A_1\).
2. На ребре \(AB\) точка \(N\) делит ребро в отношении \(AN : NB = 1 : 3\), значит \(N\) находится на расстоянии \(\frac{1}{4}\) от точки \(A\) к \(B\).
3. На ребре \(CD\) точка \(K\) делит ребро в отношении \(DK : KC = 1 : 3\), значит \(K\) находится на расстоянии \(\frac{1}{4}\) от точки \(D\) к \(C\).
4. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки \(M, N, K\). Она пересекает ребро \(BC\), которое соединяет точки \(B\) и \(C\). Найдём точку пересечения \(P\).
5. Для определения точки \(P\) на ребре \(BC\) найдём уравнение плоскости через \(M, N, K\) и подставим координаты ребра \(BC\) в уравнение плоскости. Получаем, что \(P\) делит ребро \(BC\) в отношении \(BP : PC = 1 : 3\).
6. Аналогично плоскость пересекает ребро \(C_1D_1\) в точке \(Q\), которая делит ребро \(C_1D_1\) в отношении \(D_1Q : QC_1 = 1 : 3\).
7. Плоскость пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(R\), где \(B_1R : RC_1 = 1 : 3\).
8. Плоскость пересекает ребро \(B_1A_1\) в точке \(S\), где \(B_1S : SA_1 = 1 : 2\).
9. Таким образом, точки сечения плоскости с кубом: \(M, N, P, Q, R, S, K\).
10. Соединив точки по порядку \(M — N — P — Q — R — S — K — M\), получаем искомое сечение куба плоскостью \(MNK\) — многоугольник из семи вершин.
