ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) таковы, что \(AB \parallel DE\), \(BC \parallel EF\), \(CD \parallel FA\) и \(AB + DE\). Докажите, что данные шесть точек принадлежат одной плоскости.

Пусть \(BC \parallel EF\), \(CD \parallel FA\), \(AB \parallel DE\). Тогда \(AB = DE\), \(BC = EF\), \(CD = FA\). Получили, что противоположные стороны параллельны и равны, значит точки \(A, B, C, D, E, F\) лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

1. По условию задачи даны точки \(A, B, C, D, E, F\) такие, что \(AB \parallel DE\), \(BC \parallel EF\), \(CD \parallel FA\).

2. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Его стороны \(AB\), \(BC\), \(CA\) лежат в одной плоскости, так как три точки всегда определяют плоскость.

3. Из условия \(AB \parallel DE\) и \(BC \parallel EF\) следует, что отрезки \(DE\) и \(EF\) параллельны сторонам треугольника \(ABC\).

4. Аналогично, \(CD \parallel FA\) показывает, что отрезок \(CD\) параллелен стороне \(FA\), которая соединяет точки \(F\) и \(A\).

5. Поскольку \(DE\) параллельно \(AB\), а \(EF\) параллельно \(BC\), то точки \(D, E, F\) образуют треугольник, подобный треугольнику \(ABC\).

6. Для того чтобы все эти параллельности были возможны в трехмерном пространстве, точки \(D, E, F\) должны лежать в той же плоскости, что и \(A, B, C\).

7. Если бы точка \(D\) не лежала в плоскости \(ABC\), то прямая \(DE\), параллельная \(AB\), не могла бы существовать без пересечения плоскости \(ABC\).

8. Аналогично, если \(E\) или \(F\) не лежали бы в плоскости \(ABC\), то параллельность \(BC \parallel EF\) или \(CD \parallel FA\) была бы невозможна.

9. Следовательно, все точки \(A, B, C, D, E, F\) лежат в одной плоскости.

10. Значит, доказано, что при данных условиях точки \(A, B, C, D, E, F\) лежат в одной плоскости.