ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали квадрата \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). На отрезке \(OC\) отметили точку \(M\) так, что \(CM : MO = 1 : 2\). Найдите \(\tan \angle BMO\).

Дано: квадрат \( ABCD \), \( O \) — точка пересечения диагоналей, \( M \) — точка на отрезке \( OC \), причём \( CM : MO = 1 : 2 \).

Диагональ квадрата равна \( a\sqrt{2} \), тогда
\[
OC = \frac{a \sqrt{2}}{2}.
\]

Пусть \( MO = x \), тогда
\[
CM = \frac{x}{2},
\]
значит
\[
OC = x + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2},
\]
откуда
\[
x = \frac{2}{3} OC.
\]

Точка \( M \) делит отрезок \( OC \) так, что
\[
MO = \frac{2}{3} OC, \quad CM = \frac{1}{3} OC.
\]

Координаты точек:
\[
O(0,0), \quad C\left( \frac{a \sqrt{2}}{2}, 0 \right), \quad B \left(0, \frac{a \sqrt{2}}{2} \right), \quad M \left( \frac{a \sqrt{2}}{6}, 0 \right).
\]

Векторы:
\[
\vec{MB} = \left(-\frac{a \sqrt{2}}{6}, \frac{a \sqrt{2}}{2}\right), \quad \vec{MO} = \left(-\frac{a \sqrt{2}}{6}, 0 \right).
\]

Скалярное произведение:
\[
\vec{MB} \cdot \vec{MO} = \frac{a^{2}}{18}.
\]

Векторное произведение:
\[
\vec{MB} \times \vec{MO} = \frac{a^{2}}{6}.
\]

Тангенс угла:
\[
\tan \theta = \frac{|\vec{MB} \times \vec{MO}|}{\vec{MB} \cdot \vec{MO}} = \frac{\frac{a^{2}}{6}}{\frac{a^{2}}{18}} = 3.
\]

Рассмотрим квадрат ABCD со стороной длины \(a\). В этом квадрате точки \(O\) — это точка пересечения диагоналей, а \(M\) — точка, расположенная на отрезке \(OC\), причем отношение отрезков \(CM : MO = 1 : 2\). Поскольку \(O\) — центр квадрата, диагонали равны по длине и пересекаются под прямым углом, каждая диагональ равна \(a \sqrt{2}\). Следовательно, длина отрезка \(OC\), который является половиной диагонали, равна \( \frac{a \sqrt{2}}{2} \). Это важное значение, поскольку оно задаёт масштаб для нахождения координат точки \(M\).

Обозначим длину отрезка \(MO\) через \(x\). Из условия, что \(CM : MO = 1 : 2\), следует, что \(CM = \frac{x}{2}\). Поскольку \(OC\) состоит из двух частей — \(MO\) и \(CM\), то их сумма равна длине \(OC\), то есть \(OC = MO + CM = x + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}\). Отсюда можно выразить \(x\) как \(x = \frac{2}{3} OC\). Подставляя значение \(OC = \frac{a \sqrt{2}}{2}\), получаем \(MO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{3}\). Таким образом, точка \(M\) делит отрезок \(OC\) в отношении 2 к 1, и её координаты можно определить, учитывая, что \(O\) находится в начале координат, а \(C\) — на оси \(x\) в точке \(\left(\frac{a \sqrt{2}}{2}, 0\right)\). Тогда координаты \(M\) будут \(\left(\frac{a \sqrt{2}}{6}, 0\right)\), так как \(MO = \frac{a \sqrt{2}}{3}\), а \(M\) находится ближе к \(O\).

Далее рассмотрим векторы \(\vec{MB}\) и \(\vec{MO}\), где \(B\) — точка квадрата с координатами \(\left(0, \frac{a \sqrt{2}}{2}\right)\). Вектор \(\vec{MB}\) определяется как разность координат точек \(B\) и \(M\), то есть \(\vec{MB} = \left(0 — \frac{a \sqrt{2}}{6}, \frac{a \sqrt{2}}{2} — 0 \right) = \left(-\frac{a \sqrt{2}}{6}, \frac{a \sqrt{2}}{2}\right)\). Вектор \(\vec{MO}\) — это разность координат \(O\) и \(M\), то есть \(\vec{MO} = \left(0 — \frac{a \sqrt{2}}{6}, 0 — 0 \right) = \left(-\frac{a \sqrt{2}}{6}, 0\right)\).

Для вычисления угла между векторами используется формула тангенса угла через векторное и скалярное произведения: \(\tan \theta = \frac{|\vec{MB} \times \vec{MO}|}{\vec{MB} \cdot \vec{MO}}\). Скалярное произведение векторов \(\vec{MB} \cdot \vec{MO}\) равно сумме произведений соответствующих координат: \(-\frac{a \sqrt{2}}{6} \cdot -\frac{a \sqrt{2}}{6} + \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot 0 = \frac{a^{2} \cdot 2}{36} = \frac{a^{2}}{18}\). Векторное произведение в двумерном пространстве вычисляется как определитель матрицы из координат векторов: \(\vec{MB} \times \vec{MO} = \left(-\frac{a \sqrt{2}}{6}\right) \cdot 0 — \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{a \sqrt{2}}{6}\right) = \frac{a^{2} \cdot 2}{12} = \frac{a^{2}}{6}\).

Подставляя эти значения в формулу для тангенса, получаем \(\tan \theta = \frac{\frac{a^{2}}{6}}{\frac{a^{2}}{18}} = 3\). Это означает, что угол между векторами \(\vec{MB}\) и \(\vec{MO}\) таков, что его тангенс равен 3, что соответствует конкретному углу, который можно вычислить дополнительно, если необходимо. Таким образом, мы подробно разобрали все шаги, начиная с геометрических отношений в квадрате, переходя к координатам точек и векторов, и заканчивая вычислением угла между векторами с помощью скалярного и векторного произведений.