ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали квадрата \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). На отрезке \(OC\) отметили точку \(M\) так, что \(CM : MO = 1 : 2\). Найдите \(\tan \angle BMO\).

Дано: квадрат \(ABCD\), точка \(O\) — пересечение диагоналей, точка \(M\) на отрезке \(OC\) так, что \(CM : MO = 1 : 2\).

Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом, значит \(\angle AOB = 90^\circ\).

Пусть \(BO = 3\), тогда \(MO = 2\) (по условию).

Тогда \(\tan \angle BMO = \frac{BO}{MO} = \frac{3}{2} = 1.5\).

1. Пусть \(ABCD\) — квадрат со стороной \(a\). Тогда диагонали \(AC\) и \(BD\) равны и имеют длину \(a \sqrt{2}\).

2. Точка \(O\) — точка пересечения диагоналей, она делит каждую диагональ пополам. Значит \(AO = OC = BO = OD = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

3. Точка \(M\) лежит на отрезке \(OC\), при этом отношение \(CM : MO = 1 : 2\). Обозначим длину отрезка \(MO = x\), тогда \(CM = \frac{x}{2}\).

4. Так как \(OC = MO + CM\), то \(OC = x + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}\).

5. Отсюда \(x = \frac{2}{3} OC = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{3}\). Значит \(MO = \frac{a \sqrt{2}}{3}\).

6. Рассмотрим треугольник \(BMO\). Чтобы найти \(\tan \angle BMO\), нужно найти отношение катетов, прилегающих к этому углу.

7. Вектор \(BO\) перпендикулярен вектору \(OC\) и равен по длине \(BO = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

8. Вектор \(MO\) лежит на той же прямой, что и \(OC\), и имеет длину \(MO = \frac{a \sqrt{2}}{3}\).

9. Так как угол \(BMO\) — угол между векторами \(BO\) и \(MO\), а они перпендикулярны и лежат на смежных осях, то \(\tan \angle BMO = \frac{BO}{MO} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{a \sqrt{2}}{3}} = \frac{3}{2} = 1.5\).

10. Ответ: \(\tan \angle BMO = 1.5\).