ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рёбрах \(DA\), \(DB\) и \(DC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E\), \(F\) и \(K\) так, что \( \frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC} \). Докажите, что плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.

Дано: \(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}\).

Тогда по признаку пропорциональных отрезков:

\(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC} = t\).

Рассмотрим треугольники \(EFK\) и \(ABC\).

В них:

\(\frac{EF}{AB} = \frac{FK}{BC} = \frac{EK}{AC} = t\).

Значит, \(\triangle EFK \sim \triangle ABC\) и они подобны.

Из подобия следует, что плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.

1. Дано, что точки \(E\), \(F\), \(K\) лежат на ребрах \(DA\), \(DB\), \(DC\) соответственно, и выполняется равенство \(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC} = t\), где \(0 < t < 1\).

2. Это означает, что каждая точка делит соответствующее ребро в одинаковом отношении \(t\), то есть \(DE = t \cdot DA\), \(DF = t \cdot DB\), \(DK = t \cdot DC\).

3. Рассмотрим треугольники \(EFK\) и \(ABC\). Они лежат в плоскостях \(EFK\) и \(ABC\) соответственно.

4. Найдем длины отрезков в треугольнике \(EFK\). Отрезок \(EF\) соединяет точки \(E\) на \(DA\) и \(F\) на \(DB\).

5. Так как \(E\) и \(F\) делят ребра в отношении \(t\), то вектор \(EF\) равен \(t\) умноженному на вектор \(AB\), то есть \(EF = t \cdot AB\).

6. Аналогично, \(FK = t \cdot BC\) и \(EK = t \cdot AC\), так как \(F\) и \(K\), \(E\) и \(K\) лежат на ребрах с тем же отношением.

7. Таким образом, все стороны треугольника \(EFK\) пропорциональны соответствующим сторонам треугольника \(ABC\) с коэффициентом \(t\).

8. Из этого следует, что треугольники \(EFK\) и \(ABC\) подобны, то есть \(\triangle EFK \sim \triangle ABC\).

9. Поскольку треугольники подобны и лежат в разных плоскостях, плоскость \(EFK\) параллельна плоскости \(ABC\).

10. Следовательно, доказано, что плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.