ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 6.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Треугольник \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\). Через его вершины проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость \(\beta\), параллельную плоскости \(\alpha\), в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\). Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны.

Дано: треугольник \(ABC\) в плоскости \(\alpha\), плоскость \(\beta \parallel \alpha\). Через \(A, B, C\) проведены параллельные прямые, пересекающие \(\beta\) в \(A_1, B_1, C_1\).

Требуется доказать, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).

Так как \(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1\), то \(AB \parallel A_1B_1\), \(BC \parallel B_1C_1\), \(CA \parallel C_1A_1\).

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, значит расстояние между ними одинаково, отрезки \(AA_1 = BB_1 = CC_1\).

Следовательно, \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), \(CA = C_1A_1\).

Углы между сторонами равны, так как линии параллельны.

Значит \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Дано, что треугольник \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а плоскость \(\beta\) параллельна плоскости \(\alpha\). Через точки \(A, B, C\) проведены прямые \(AA_1, BB_1, CC_1\), которые параллельны друг другу и пересекают плоскость \(\beta\) в точках \(A_1, B_1, C_1\) соответственно.

2. Поскольку прямые \(AA_1, BB_1, CC_1\) параллельны, то линии \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны, так как они являются пересечениями плоскостей с параллельными прямыми. Аналогично, \(BC \parallel B_1C_1\) и \(CA \parallel C_1A_1\).

3. Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, значит расстояние между ними одинаково для всех точек. Следовательно, отрезки \(AA_1, BB_1, CC_1\) равны по длине.

4. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). У них соответствующие стороны параллельны: \(AB \parallel A_1B_1\), \(BC \parallel B_1C_1\), \(CA \parallel C_1A_1\).

5. Поскольку прямые \(AA_1, BB_1, CC_1\) параллельны и равны по длине, то длины сторон треугольника \(ABC\) равны длинам соответствующих сторон треугольника \(A_1B_1C_1\). То есть, \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), \(CA = C_1A_1\).

6. Углы треугольника \(ABC\) равны углам треугольника \(A_1B_1C_1\), так как угол между двумя параллельными прямыми сохраняется при параллельном переносе.

7. Таким образом, треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) имеют равные соответствующие стороны и равные соответствующие углы.

8. По признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны.

9. Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

10. Доказано, что треугольники, построенные таким образом, равны.