ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Эллипс с центром О, является изображением окружности с центром О (рис. 7.30). Постройте изображение какого-либо прямоугольного треугольника, вписанного в данную окружность.

Эллипс с центром O является изображением окружности с центром O после преобразования. Нужно построить изображение прямоугольного треугольника, вписанного в исходную окружность, и показать его на эллипсе.

Решение: в исходной окружности выберем диаметр с концами в точках A и B, проходящий через центр O. Третью точку C выберем на окружности так, чтобы угол в точке C был равен \(90^\circ\) (по теореме о вписанном угле). После преобразования окружности в эллипс точки A, B и C переходят в A’, B’ и C’, образуя треугольник на эллипсе.

Объяснение: в окружности гипотенуза прямоугольного треугольника — это диаметр, а угол при вершине C равен \(90^\circ\). При преобразовании в эллипс форма треугольника изменяется, но он остается вписанным в эллипс, соответствуя изображению.

1. Рассмотрим задачу построения изображения прямоугольного треугольника, вписанного в окружность с центром в точке O, которая после преобразования стала эллипсом с тем же центром O. Наша цель — определить, как будет выглядеть этот треугольник на эллипсе, и обеспечить соответствие изображения предоставленному примеру.

2. Начнем с исходной окружности, у которой центр находится в точке O. Вписанный прямоугольный треугольник в окружности обладает свойством, согласно которому его гипотенуза является диаметром окружности. Это следует из теоремы о вписанном угле, где угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).

3. Выберем две точки на окружности, которые образуют диаметр. Назовем их A и B, так что отрезок AB проходит через центр O. Таким образом, A и B — это противоположные точки на окружности, и длина AB равна удвоенному радиусу окружности.

4. Теперь выберем третью точку C на окружности. Поскольку треугольник ABC должен быть прямоугольным, угол при вершине C должен быть равен \(90^\circ\). Это возможно, если точка C выбрана так, чтобы векторы CA и CB были перпендикулярны друг другу. В координатной плоскости, если центр O находится в начале координат \((0, 0)\), можно задать точки, например, A \((-r, 0)\), B \((r, 0)\), а точку C — как \((0, r)\), где r — радиус окружности.

5. Проверим, что угол при C равен \(90^\circ\). Вектор CA от C к A: \((-r — 0, 0 — r) = (-r, -r)\), а вектор CB от C к B: \((r — 0, 0 — r) = (r, -r)\). Скалярное произведение векторов CA и CB равно \((-r) \cdot r + (-r) \cdot (-r) = -r^2 + r^2 = 0\), что подтверждает перпендикулярность векторов и, следовательно, угол при C равен \(90^\circ\).

6. Теперь рассмотрим преобразование окружности в эллипс. Предположим, что окружность с радиусом r преобразуется в эллипс с большой осью длиной 2a вдоль оси x и малой осью длиной 2b вдоль оси y. Это соответствует аффинному преобразованию, которое растягивает или сжимает окружность по осям. Уравнение окружности \(x^2 + y^2 = r^2\) преобразуется в уравнение эллипса \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).

7. При этом преобразовании точки треугольника ABC также изменяют свои координаты. Если преобразование заключается в масштабировании по оси x с коэффициентом \(\frac{a}{r}\) и по оси y с коэффициентом \(\frac{b}{r}\), то точка \((x, y)\) на окружности переходит в точку \((x \cdot \frac{a}{r}, y \cdot \frac{b}{r})\) на эллипсе. Таким образом, точки A \((-r, 0)\), B \((r, 0)\), C \((0, r)\) преобразуются в A’ \((-a, 0)\), B’ \((a, 0)\), C’ \((0, b)\).

8. На эллипсе треугольник A’B’C’ больше не обязательно выглядит прямоугольным в визуальном смысле, так как преобразование искажает углы. Однако в контексте исходной окружности он остается прямоугольным, и его вершины лежат на эллипсе, что соответствует условию вписанности.

9. Чтобы соответствовать предоставленному изображению, предположим, что эллипс имеет конкретные параметры, например, a = 3 и b = 2 (если это указано в примере). Тогда точки будут A’ \((-3, 0)\), B’ \((3, 0)\), C’ \((0, 2)\). Эти координаты определяют треугольник, вписанный в эллипс с уравнением \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\), что должно совпадать с примером.

10. Таким образом, изображение прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, после преобразования в эллипс имеет вершины в точках A’, B’, C’, соответствующих исходным точкам A, B, C. Это построение полностью описывает решение задачи и соответствует предоставленному изображению, если параметры эллипса совпадают с примером.