ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Эллипс с центром О, является изображением окружности с центром О (см. рис. 7.30). Постройте изображение какого-либо прямоугольника, вписанного в данную окружность.

Эллипс является изображением окружности с центром \( O \) после аффинного преобразования (например, сжатия или растяжения). Нужно построить прямоугольник, вписанный в исходную окружность, и применить то же преобразование.

Выберите прямоугольник, вписанный в окружность, например, квадрат с вершинами на окружности, где стороны параллельны осям координат, если центр \( O \) в начале координат. Пусть радиус окружности \( r \), тогда координаты вершин квадрата могут быть \( (\frac{r}{\sqrt{2}}, \frac{r}{\sqrt{2}}) \), \( (\frac{r}{\sqrt{2}}, -\frac{r}{\sqrt{2}}) \), \( (-\frac{r}{\sqrt{2}}, \frac{r}{\sqrt{2}}) \), \( (-\frac{r}{\sqrt{2}}, -\frac{r}{\sqrt{2}}) \).

Примените преобразование, превращающее окружность в эллипс (например, сжатие по оси \( y \) с коэффициентом \( k \)), чтобы получить изображение прямоугольника. Вершины преобразуются соответственно, и квадрат становится прямоугольником или параллелограммом, в зависимости от преобразования.

Итог: постройте прямоугольник, вписанный в окружность, и преобразованный в соответствии с эллипсом на рисунке.

1. Пусть исходная окружность имеет уравнение \( x^2 + y^2 = r^2 \) с центром в точке \( O(0,0) \) и радиусом \( r \).

2. Вписанный в окружность прямоугольник можно выбрать как квадрат с вершинами на окружности. Координаты вершин квадрата будут \( \left(\frac{r}{\sqrt{2}}, \frac{r}{\sqrt{2}}\right) \), \( \left(\frac{r}{\sqrt{2}}, -\frac{r}{\sqrt{2}}\right) \), \( \left(-\frac{r}{\sqrt{2}}, \frac{r}{\sqrt{2}}\right) \), \( \left(-\frac{r}{\sqrt{2}}, -\frac{r}{\sqrt{2}}\right) \).

3. Эллипс получается из окружности после аффинного преобразования, например, сжатия по оси \( y \) с коэффициентом \( k \), где \( 0 < k < 1 \).

4. Уравнение эллипса после преобразования будет \( x^2 + \frac{y^2}{k^2} = r^2 \).

5. Для получения изображения прямоугольника на эллипсе, координаты каждой вершины квадрата преобразуем: \( (x, y) \to (x, k y) \).

6. Тогда вершины преобразованного прямоугольника будут \( \left(\frac{r}{\sqrt{2}}, \frac{k r}{\sqrt{2}}\right) \), \( \left(\frac{r}{\sqrt{2}}, -\frac{k r}{\sqrt{2}}\right) \), \( \left(-\frac{r}{\sqrt{2}}, \frac{k r}{\sqrt{2}}\right) \), \( \left(-\frac{r}{\sqrt{2}}, -\frac{k r}{\sqrt{2}}\right) \).

7. Таким образом, исходный квадрат, вписанный в окружность, преобразуется в прямоугольник, вписанный в эллипс.

8. Стороны преобразованного прямоугольника параллельны осям координат, длины сторон равны \( \frac{r \sqrt{2}}{1} \) по оси \( x \) и \( \frac{k r \sqrt{2}}{1} \) по оси \( y \).

9. Построение прямоугольника на эллипсе совпадает с изображением на фото, так как все вершины лежат на эллипсе, а стороны параллельны осям.

10. Итог: построенный прямоугольник является изображением вписанного в окружность квадрата после преобразования, которое превращает окружность в эллипс.