ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Эллипс с центром О, и отрезок А,В, являются изображением окружности с центром О и её хорды АВ (рис. 7.31). Постройте изображение диаметра данной окружности, перпендикулярного хорде АВ.

Для построения диаметра, перпендикулярного хорде \(A_1B_1\), нужно через центр \(O_1\) эллипса провести прямую, перпендикулярную \(A_1B_1\).

Отложить на этой прямой отрезок \(C_1D_1\), равный диаметру окружности.

Отрезок \(C_1D_1\) и будет искомым изображением диаметра, перпендикулярного хорде \(A_1B_1\).

1. Найти центр эллипса \(O_1\), являющийся изображением центра окружности \(O\).

2. Определить координаты точек \(A_1\) и \(B_1\), образующих хорду на эллипсе.

3. Построить вектор \(\overrightarrow{A_1B_1}\) и вычислить его направление.

4. Найти уравнение прямой, проходящей через \(O_1\) и перпендикулярной к хорде \(A_1B_1\). Если вектор \(\overrightarrow{A_1B_1} = (x, y)\), то вектор, перпендикулярный ему, будет \((-y, x)\).

5. Записать уравнение перпендикулярной прямой в виде \( (X — X_0)(x) + (Y — Y_0)(y) = 0 \), где \((X_0, Y_0)\) — координаты \(O_1\).

6. Известно, что длина диаметра окружности равна \(2r\), где \(r\) — радиус исходной окружности.

7. Отложить на перпендикулярной прямой отрезок длиной \(2r\) с центром в \(O_1\). Концы этого отрезка обозначить как \(C_1\) и \(D_1\).

8. Точки \(C_1\) и \(D_1\) являются концами диаметра, перпендикулярного хорде \(A_1B_1\).

9. Проверить, что отрезок \(C_1D_1\) действительно перпендикулярен \(A_1B_1\) и проходит через \(O_1\).

10. Таким образом, отрезок \(C_1D_1\) — искомое изображение диаметра окружности, перпендикулярного хорде \(A_1B_1\).