Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рисунке 7.32 изображён куб ABCDA,B,C,D1, на ребре CD которого отметили точку М. Постройте образ данного куба при симметрии относительно: 1) вершины В1; 2) точки М.
При симметрии относительно вершины \( B_1 \) каждая точка \( P \) куба переходит в точку \( P’ \), для которой \( B_1 \) — середина отрезка \( PP’ \). То есть \( P’ = 2B_1 — P \). Применив это к всем вершинам, получаем новый куб, отражённый через \( B_1 \).
При симметрии относительно точки \( M \) на ребре \( CD \) каждая точка \( P \) переходит в точку \( P’ \), для которой \( M \) — середина отрезка \( PP’ \). То есть \( P’ = 2M — P \). Применив это к всем вершинам, получаем новый куб, отражённый через \( M \).
1. Пусть координаты вершин куба заданы в пространстве. Обозначим вершину \( B_1 \) как точку с координатами \( (x_0, y_0, z_0) \). Для любой вершины \( P(x, y, z) \) образ при симметрии относительно \( B_1 \) находится по формуле \( P’ = 2B_1 — P \), то есть \( P'(x’, y’, z’) \), где \( x’ = 2x_0 — x \), \( y’ = 2y_0 — y \), \( z’ = 2z_0 — z \).
2. Применяем эту формулу ко всем вершинам куба, кроме \( B_1 \), которая остаётся неподвижной, так как является центром симметрии.
3. Полученные точки \( P’ \) образуют новый куб, который является зеркальным отражением исходного относительно вершины \( B_1 \).
4. Для симметрии относительно точки \( M \), расположенной на ребре \( CD \), определим координаты \( M \) как \( M = \left( \frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}, \frac{z_C + z_D}{2} \right) \), если \( M \) — середина ребра, либо по заданному положению на ребре.
5. Для каждой вершины \( P(x, y, z) \) куба образ \( P’ \) при симметрии относительно \( M \) вычисляется по формуле \( P’ = 2M — P \), то есть \( x’ = 2x_M — x \), \( y’ = 2y_M — y \), \( z’ = 2z_M — z \).
6. Применяем эту формулу ко всем вершинам куба для получения их образов.
7. Полученные точки \( P’ \) образуют новый куб, который является зеркальным отражением исходного относительно точки \( M \).
8. В обоих случаях каждая вершина куба переходит в точку, симметричную относительно выбранного центра симметрии, что сохраняет форму и размеры куба.
9. Симметрия относительно вершины \( B_1 \) меняет расположение куба так, что \( B_1 \) остаётся на месте, а остальные вершины отражаются через неё.
10. Симметрия относительно точки \( M \) на ребре \( CD \) отражает куб вокруг этой точки, меняя положение всех вершин согласно формуле \( P’ = 2M — P \).
