ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 7.35 изображён тетраэдр DABC, точка М — середина ребра ВС. Постройте образ данного тетраэдра при параллельном переносе, в результате которого: 1) образом точки D является точка В; 2) образом точки А является точка М.

Параллельный перенос задаётся вектором с началом в исходной точке и концом в образе этой точки.

1) Если образом точки D является точка B, то вектор переноса \(\overrightarrow{BD}\). Тогда образы остальных точек:
\(A’ = A + \overrightarrow{BD}\),
\(B’ = B + \overrightarrow{BD}\),
\(C’ = C + \overrightarrow{BD}\),
\(D’ = B\).

2) Если образом точки A является точка M — середина ребра BC, то вектор переноса \(\overrightarrow{AM}\), где \(M = B + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\). Тогда образы остальных точек:
\(A’ = M\),
\(B’ = B + \overrightarrow{AM}\),
\(C’ = C + \overrightarrow{AM}\),
\(D’ = D + \overrightarrow{AM}\).

1) Пусть параллельный перенос задан вектором \(\overrightarrow{t}\). По условию образ точки D — точка B, значит \(\overrightarrow{t} = \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B} — \overrightarrow{D}\).

Тогда образы остальных точек находятся по формуле \(X’ = X + \overrightarrow{t}\), где \(X\) — координаты исходной точки.

Таким образом,
\(A’ = A + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{A} + (\overrightarrow{B} — \overrightarrow{D})\),
\(B’ = B + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B} + (\overrightarrow{B} — \overrightarrow{D}) = 2\overrightarrow{B} — \overrightarrow{D}\),
\(C’ = C + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{C} + (\overrightarrow{B} — \overrightarrow{D})\),
\(D’ = B\).

2) Пусть точка M — середина ребра BC, тогда \(\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}\).

Параллельный перенос задан вектором \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} — \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} — \overrightarrow{A}\).

Образы остальных точек:
\(A’ = M = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}\),
\(B’ = B + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{B} + \left(\frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} — \overrightarrow{A}\right) = \frac{3\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} — \overrightarrow{A}\),
\(C’ = C + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{C} + \left(\frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} — \overrightarrow{A}\right) = \frac{\overrightarrow{B} + 3\overrightarrow{C}}{2} — \overrightarrow{A}\),
\(D’ = D + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{D} + \left(\frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} — \overrightarrow{A}\right) = \overrightarrow{D} + \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} — \overrightarrow{A}\).