ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если отрезок параллелен плоскости проектирования, то его параллельной проекцией является отрезок, равный данному.

Пусть фигура \(F\) лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций. Тогда для любых точек \(A, B \in F\) их проекции \(A’, B’ \in F’\) сохраняют направление и длину отрезков, так как линии проекций параллельны плоскости \(F\).

Поскольку \(AB \parallel A’B’\) и длины равны, то отрезок \(AB\) равен отрезку \(A’B’\). Значит, фигура \(F\) при проецировании переходит в равную ей фигуру \(F’\).

Отсюда следует, что \(F = F’\).

1. Пусть фигура \(F\) лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций. Обозначим эту плоскость через \(\alpha\), а плоскость проекций через \(\pi\), где \(\alpha \parallel \pi\).

2. Рассмотрим две произвольные точки \(A\) и \(B\) фигуры \(F\). Их проекции на плоскость \(\pi\) обозначим как \(A’\) и \(B’\).

3. Так как плоскости \(\alpha\) и \(\pi\) параллельны, то линии проекций, перпендикулярные плоскости \(\pi\), будут параллельны плоскости \(\alpha\).

4. Следовательно, отрезок \(AB\) параллелен отрезку \(A’B’\), так как проецирование по параллельным линиям сохраняет направление.

5. Длина отрезка \(AB\) равна длине отрезка \(A’B’\), так как расстояния между параллельными плоскостями сохраняются при параллельном проецировании.

6. Таким образом, для любых двух точек \(A, B \in F\) их проекции \(A’, B’ \in F’\) удовлетворяют равенству \(AB = A’B’\).

7. Это означает, что фигура \(F\) и её проекция \(F’\) равны по форме и размерам.

8. Следовательно, фигура \(F\) совпадает с её параллельной проекцией \(F’\).

9. Итог: если фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций, то \(F = F’\).

10. Таким образом, доказано, что параллельная проекция фигуры на плоскость, параллельную плоскости фигуры, равна самой фигуре.