Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Треугольник A,B1C1 — изображение равнобедренного треугольника АВС с основанием АС. Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник АВС, если АВ : АС = 5 : 4.
В равнобедренном треугольнике с основанием \(AC\) центр вписанной окружности лежит на медиане, проведённой из вершины \(B\).
Отношение сторон \(AB : AC = 5 : 4\) показывает, что \(AB > AC\), значит центр \(O\) ближе к стороне \(AC\).
Построим биссектрисы углов \(A\) и \(B\). Их пересечение даст точку \(O\) — центр вписанной окружности.
Так как треугольник равнобедренный, медиана из \(B\) одновременно является биссектрисой и высотой, поэтому \(O\) лежит на этой медиане.
Ответ совпадает с точкой \(O_1\) на рисунке.
1. Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), значит \(AB = BC\).
2. По условию \(AB : AC = 5 : 4\), тогда обозначим \(AC = 4x\), \(AB = BC = 5x\).
3. Центр вписанной окружности \(O\) — точка пересечения биссектрис треугольника.
4. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине \(B\) совпадает с медианой и высотой, поэтому \(O\) лежит на медиане из \(B\).
5. Обозначим точку \(M\) — середину основания \(AC\), тогда \(AM = MC = 2x\).
6. Проведём биссектрису угла \(A\), она делит угол \(A\) на два равных угла и пересекает сторону \(BC\) в точке \(D\).
7. По теореме о делении стороны треугольника биссектрисой, отношение отрезков \(BD : DC = AB : AC = 5 : 4\).
8. Используя координатный метод, разместим \(A\) в начале координат, \(A = (0,0)\), \(C = (4x,0)\), тогда \(M = (2x,0)\).
9. Точка \(B\) лежит на оси симметрии, то есть на прямой \(x = 2x\), и расстояние \(AB = 5x\), значит \(B = (2x, y)\), где \(y = \sqrt{(5x)^2 — (2x)^2} = \sqrt{25x^2 — 4x^2} = \sqrt{21}x\).
10. Центр вписанной окружности \(O\) лежит на медиане \(BM\) и на биссектрисе угла \(A\), что позволяет определить его координаты как \(O = (2x, y_0)\), где \(y_0 < y\). Именно эта точка \(O\) является центром вписанной окружности треугольника \(ABC\).
