Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Треугольник A,B,C1 — изображение равнобедренного треугольника АВС с основанием АС. Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника АВС, если высота АМ этого треугольника делит сторону ВС на отрезки ВМ и МС так, что ВМ = 5МС.
Пусть \(BM = 5x\), тогда \(MC = x\), \(BC = 6x\). Точка \(M\) делит \(BC\) в отношении 5:1.
Координаты: \(B = (0,0)\), \(C = (6x,0)\), \(M = (5x,0)\), \(A = (5x,h)\).
Середина \(BC\) — \(D = (3x,0)\), серединный перпендикуляр к \(BC\) — вертикальная линия \(x = 3x\).
Середина \(AB\) — \(E = (2.5x, \frac{h}{2})\), наклон \(AB = \frac{h}{5x}\), перпендикулярный наклон \(-\frac{5x}{h}\).
Уравнение серединного перпендикуляра к \(AB\): \(y — \frac{h}{2} = -\frac{5x}{h}(x — 2.5x)\).
Пересечение с \(x=3x\): \(y = \frac{h}{2} — \frac{2.5x^2}{h}\).
Центр описанной окружности \(O = (3x, \frac{h}{2} — \frac{2.5x^2}{h})\).
1. Пусть \(BM = 5x\), тогда \(MC = x\). Следовательно, длина стороны \(BC = BM + MC = 6x\).
2. Координаты точек зададим так: \(B = (0,0)\), \(C = (6x,0)\), так как \(BC\) лежит на оси \(OX\).
3. Точка \(M\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(5:1\), значит \(M = (5x,0)\).
4. Высота \(AM\) перпендикулярна \(BC\), значит \(A\) лежит на вертикальной линии через \(M\), то есть \(A = (5x,h)\), где \(h\) — высота.
5. Найдём середину стороны \(BC\): \(D = \left(\frac{0 + 6x}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (3x,0)\).
6. Серединный перпендикуляр к \(BC\) — это прямая, проходящая через \(D\) и перпендикулярная \(BC\). Поскольку \(BC\) горизонтальна, серединный перпендикуляр — вертикальная прямая \(x = 3x\).
7. Найдём середину стороны \(AB\): \(E = \left(\frac{0 + 5x}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(2.5x, \frac{h}{2}\right)\).
8. Наклон отрезка \(AB\) равен \(k_{AB} = \frac{h — 0}{5x — 0} = \frac{h}{5x}\).
9. Перпендикулярный наклон к \(AB\) равен \(k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{5x}{h}\).
10. Уравнение серединного перпендикуляра к \(AB\), проходящего через точку \(E\), записывается как \(y — \frac{h}{2} = -\frac{5x}{h}(x — 2.5x)\).
11. Подставляем \(x = 3x\) (уравнение серединного перпендикуляра к \(BC\)) в уравнение серединного перпендикуляра к \(AB\):
\(y — \frac{h}{2} = -\frac{5x}{h}(3x — 2.5x) = -\frac{5x}{h} \cdot 0.5x = -\frac{2.5x^{2}}{h}\).
12. Отсюда \(y = \frac{h}{2} — \frac{2.5x^{2}}{h}\).
13. Центр описанной окружности треугольника \(ABC\) имеет координаты \(O = (3x, \frac{h}{2} — \frac{2.5x^{2}}{h})\).
