ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Треугольник A1B1C1 — изображение треугольника АВС. Постройте изображение квадрата DEFM, вписанного в треугольник АВС, если DE || AB, ME || AB, E ∈ AC, FE ∈ BC.

Пусть \( D \in AB \), \( E \in AC \), \( F \in BC \), \( M \in AB \).

Проведём \( DE \parallel AB \), тогда \( DE \) — сторона квадрата.

От \( E \) проведём \( EF \parallel BC \), чтобы \( EF \) была равна \( DE \).

Проведём \( FM \parallel AB \), чтобы \( FM = DE \) и \( M \in AB \).

Проверим, что \( DM \parallel BC \) и \( DM = DE \), тогда \( DEFM \) — квадрат, вписанный в треугольник \( ABC \).

1. Пусть \( D \) — точка на стороне \( AB \). Обозначим длину стороны квадрата через \( a \).

2. Проведём от \( D \) отрезок \( DE \) параллельно \( AB \), где точка \( E \) лежит на стороне \( AC \). По условию \( DE \parallel AB \), значит \( DE = a \).

3. От точки \( E \) проведём отрезок \( EF \) параллельно \( BC \). Точка \( F \) лежит на стороне \( BC \), и длина \( EF = a \) по свойствам квадрата.

4. Далее от точки \( F \) проведём отрезок \( FM \) параллельно \( AB \), где точка \( M \) лежит на стороне \( AB \). Длина \( FM = a \).

5. Проверим, что отрезок \( MD \) параллелен \( BC \) и равен \( a \), чтобы замкнуть квадрат.

6. Таким образом, стороны \( DE \), \( EF \), \( FM \) и \( MD \) равны по длине \( a \), а углы между ними равны 90°.

7. Следовательно, четырёхугольник \( DEFM \) является квадратом, вписанным в треугольник \( ABC \).

8. Все вершины квадрата лежат на сторонах треугольника: \( D, M \in AB \), \( E \in AC \), \( F \in BC \).

9. Параллельность сторон квадрата и сторон треугольника поддерживается: \( DE \parallel AB \), \( FM \parallel AB \), \( EF \parallel BC \), \( MD \parallel BC \).

10. Таким образом построен квадрат \( DEFM \), удовлетворяющий всем заданным условиям.