Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Эллипс с центром О, является изображением окружности с центром О. Постройте изображение правильного треугольника: 1) вписанного в данную окружность; 2) описанного около данной окружности.
Вписанный правильный треугольник строится так: выбираются три точки на эллипсе, соответствующие вершинам треугольника, равномерно расположенные по окружности. Их координаты удовлетворяют уравнению эллипса.
Описанный правильный треугольник строится так: его стороны касаются эллипса, центр \(O\) является центром вписанной окружности. Для построения проводят касательные к эллипсу, образующие равносторонний треугольник.
Вершины вписанного треугольника обозначим \(M_1, B_1, C_1\), вершины описанного — \(M, B, C\), центр эллипса и окружности — \(O_1\).
Таким образом, изображение вписанного треугольника — треугольник с вершинами на эллипсе, а изображение описанного — треугольник, стороны которого касаются эллипса.
1) Вписанный правильный треугольник строится на эллипсе, являющемся изображением окружности. Для этого выбираются три точки \(A_1, B_1, C_1\) на эллипсе, расположенные равномерно по параметру угла, то есть с углами, отличающимися на \( \frac{2\pi}{3} \). Координаты этих точек удовлетворяют уравнению эллипса \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \).
2) Центр эллипса \(O\) совпадает с центром окружности. Вершины вписанного треугольника лежат на эллипсе, поэтому треугольник \(A_1 B_1 C_1\) является изображением правильного треугольника, вписанного в окружность.
3) Описанный правильный треугольник строится так, чтобы его стороны касались эллипса. Для этого необходимо построить три касательные к эллипсу, образующие равносторонний треугольник \(A B C\).
4) Центр \(O\) эллипса является центром вписанной окружности этого треугольника, то есть окружность касается всех трёх сторон треугольника \(A B C\).
5) Для построения касательных используют уравнение эллипса и производные, чтобы найти касательные в точках касания. Эти касательные образуют стороны описанного треугольника.
6) Вершины описанного треугольника \(A, B, C\) не лежат на эллипсе, но стороны касаются эллипса. Это соответствует изображению правильного треугольника, описанного около окружности.
7) Таким образом, изображение вписанного треугольника — треугольник с вершинами \(A_1, B_1, C_1\) на эллипсе, а изображение описанного — треугольник с вершинами \(A, B, C\), стороны которого касаются эллипса.
8) Центр \(O\) является центром эллипса и одновременно центром окружности, изображаемой эллипсом, что сохраняет свойства правильных треугольников при отображении.
9) В результате построения получаем два правильных треугольника: вписанный с вершинами на эллипсе и описанный с касательными к эллипсу сторонами.
10) Таким образом, изображение правильного треугольника, вписанного в окружность, — это треугольник с вершинами на эллипсе, а изображение правильного треугольника, описанного около окружности, — это треугольник, стороны которого касаются эллипса, с общим центром \(O\).
