Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Эллипс с центром О, является изображением окружности с центром О. Постройте изображение квадрата: 1) вписанного в данную окружность; 2) описанного около данной окружности.
Вписанный квадрат построен так, что его вершины лежат на окружности, а диагонали совпадают с диаметрами окружности. Центр квадрата совпадает с центром окружности \( O \). Обозначим вершины вписанного квадрата как \( B_1, C_1, D_1, A_1 \).
Описанный квадрат построен так, что окружность касается его сторон в четырех точках, а стороны квадрата параллельны осям эллипса. Центр квадрата совпадает с центром окружности \( O \). Вершины описанного квадрата обозначены как \( A, B, C, D \).
Таким образом, изображение вписанного квадрата — \( B_1 C_1 D_1 A_1 \), а описанного — \( ABCD \).
1. Рассмотрим окружность с центром \( O \), изображённую в виде эллипса. Радиус окружности обозначим как \( r \). Эллипс — это проекция окружности, поэтому центр окружности и эллипса совпадают.
2. Для построения вписанного квадрата необходимо, чтобы все его вершины лежали на окружности. Пусть вершины квадрата — \( A_1, B_1, C_1, D_1 \). Диагонали квадрата пересекаются в центре \( O \) и равны диаметру окружности, то есть \( 2r \).
3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и равны по длине. Следовательно, длина стороны вписанного квадрата равна \( a_1 = r \sqrt{2} \), так как диагональ квадрата \( d = a_1 \sqrt{2} \), и \( d = 2r \), значит \( a_1 = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r \sqrt{2} \).
4. Таким образом, вписанный квадрат \( B_1 C_1 D_1 A_1 \) имеет стороны длины \( r \sqrt{2} \), а его вершины лежат на окружности.
5. Для построения описанного квадрата вокруг окружности необходимо, чтобы окружность касалась всех сторон квадрата. Пусть вершины описанного квадрата — \( A, B, C, D \).
6. Центр описанного квадрата совпадает с центром окружности \( O \). Стороны квадрата параллельны осям эллипса (окружности).
7. Поскольку окружность касается каждой стороны квадрата, расстояние от центра \( O \) до каждой стороны равно радиусу \( r \).
8. Следовательно, длина стороны описанного квадрата равна \( a = 2r \).
9. Значит, квадрат \( ABCD \) с длиной стороны \( 2r \) описан вокруг окружности, касаясь её во всех четырёх точках.
10. Итог: вписанный квадрат \( B_1 C_1 D_1 A_1 \) с длиной стороны \( r \sqrt{2} \), описанный квадрат \( ABCD \) с длиной стороны \( 2r \), оба имеют центр в точке \( O \).
