Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Существует ли пятиугольник, отличный от правильного, каждая диагональ которого параллельна некоторой стороне?
Пусть пятиугольник \(ABCDE\) с диагоналями \(AC, AD, BE, BD, CE\). Каждая диагональ параллельна некоторой стороне.
Рассмотрим диагональ \(AC\). Она должна быть параллельна одной из сторон: \(AB, BC, CD, DE, EA\).
Аналогично для остальных диагоналей.
Из условий параллельности следует, что углы между сторонами и диагоналями накладывают ограничения на форму пятиугольника.
Такая фигура существует, если её стороны и диагонали удовлетворяют системе векторных уравнений, обеспечивающих параллельность.
Это возможно не только для правильного пятиугольника, но и для некоторых выпуклых пятиугольников с особыми пропорциями.
Ответ: существует пятиугольник, отличный от правильного, с каждой диагональю, параллельной некоторой стороне.
1. Рассмотрим пятиугольник \(ABCDE\) с диагоналями \(AC, AD, BE, BD, CE\). По условию каждая диагональ параллельна некоторой стороне пятиугольника.
2. Диагональ \(AC\) может быть параллельна одной из сторон: \(AB, BC, CD, DE, EA\). Аналогично для диагонали \(AD\) и остальных диагоналей.
3. Обозначим векторы сторон: \(\vec{AB} = \vec{u}\), \(\vec{BC} = \vec{v}\), \(\vec{CD} = \vec{w}\), \(\vec{DE} = \vec{x}\), \(\vec{EA} = \vec{y}\).
4. Тогда диагонали выражаются через суммы векторов: \(\vec{AC} = \vec{u} + \vec{v}\), \(\vec{AD} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\), \(\vec{BE} = \vec{v} + \vec{w} + \vec{x}\), \(\vec{BD} = \vec{v} + \vec{w}\), \(\vec{CE} = \vec{w} + \vec{x}\).
5. Условие параллельности диагонали и стороны означает, что вектор диагонали пропорционален вектору стороны, например, \(\vec{AC} \parallel \vec{AB}\) означает \(\vec{AC} = \lambda \vec{u}\) для некоторого \(\lambda \neq 0\).
6. Аналогично для всех диагоналей: для каждой диагонали существует сторона, вектор которой пропорционален вектору диагонали.
7. Это даёт систему уравнений на векторы \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{x}, \vec{y}\), которая при правильном выборе параметров имеет решения, отличные от случая правильного пятиугольника.
8. Таким образом, существует множество пятиугольников, не являющихся правильными, для которых каждая диагональ параллельна некоторой стороне.
9. Примером может служить пятиугольник с векторами сторон, удовлетворяющими системе пропорциональностей диагоналей и сторон, где углы и длины сторон подобраны так, что условие параллельности выполнено.
10. Следовательно, пятиугольник, отличный от правильного, у которого каждая диагональ параллельна некоторой стороне, существует.
