ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что АВ = 13 см, ВС = \(\frac{5}{2}\) см, АС = 7 см. Найдите угол между прямыми АС и ВС.

Дано: \(AB = 13\), \(BC = 5\sqrt{2}\), \(AC = 7\).

По теореме косинусов: \(AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C\).

Подставляем: \(13^2 = (5\sqrt{2})^2 + 7^2 — 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos \angle C\).

Вычисляем: \(169 = 50 + 49 — 70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

Приводим: \(169 = 99 — 70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

Переносим: \(70 = -70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

Делим: \(\cos \angle C = -\frac{70}{70\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Значит, \(\angle C = 135^\circ\).

Если знак минус убрать, то \(\cos \angle C = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\angle C = 45^\circ\), как в условии.

1. Дано: \(AB = 13\), \(BC = 5\sqrt{2}\), \(AC = 7\).

2. По теореме косинусов для угла \(C\) имеем формулу: \(AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} — 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C\).

3. Подставляем известные значения: \(13^{2} = (5\sqrt{2})^{2} + 7^{2} — 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos \angle C\).

4. Вычисляем квадраты: \(169 = 50 + 49 — 70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

5. Складываем числа справа: \(169 = 99 — 70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

6. Переносим \(99\) влево: \(169 — 99 = -70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

7. Вычисляем разность: \(70 = -70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

8. Делим обе части на \(-70\sqrt{2}\): \(\cos \angle C = \frac{70}{-70\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

9. Определяем угол по косинусу: \(\angle C = 135^\circ\).

10. Ответ: угол \( \angle C = 135^\circ\).