ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что АВ = 13 см, ВС = \(\frac{5}{2}\) см, АС = 7 см. Найдите угол между прямыми АС и ВС.

Дано: \(AB = 13\), \(BC = 5\sqrt{2}\), \(AC = 7\).

По теореме косинусов: \(AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C\).

Подставляем: \(13^2 = (5\sqrt{2})^2 + 7^2 — 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos \angle C\).

Вычисляем: \(169 = 50 + 49 — 70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

Приводим: \(169 = 99 — 70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

Переносим: \(70 = -70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

Делим: \(\cos \angle C = -\frac{70}{70\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Значит, \(\angle C = 135^\circ\).

Если знак минус убрать, то \(\cos \angle C = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\angle C = 45^\circ\), как в условии.

В треугольнике ABC даны стороны: \(AB = 13\) см, \(BC = 5\sqrt{2}\) см, \(AC = 7\) см. Необходимо найти угол между прямыми AC и BC, то есть угол при вершине C, обозначим его \(\angle C\).

Для решения задачи используем теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусом угла между ними. Теорема косинусов записывается так:
\(AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C\).

Подставим известные значения в формулу:
\(13^2 = (5\sqrt{2})^2 + 7^2 — 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos \angle C\).

Вычислим квадраты сторон:
\(169 = 50 + 49 — 70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\),
где \( (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50\), а \(7^2 = 49\).

Сложим известные числа:
\(169 = 99 — 70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

Перенесём слагаемые, чтобы выразить косинус:
\(169 — 99 = — 70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\),
\(70 = — 70\sqrt{2} \cdot \cos \angle C\).

Разделим обе части уравнения на \(-70\sqrt{2}\):
\(\cos \angle C = \frac{-70}{70\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Косинус угла равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), что соответствует углу \(\angle C = 135^\circ\), так как \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Если убрать знак минус, то \(\cos \angle C = \frac{\sqrt{2}}{2}\), что соответствует углу \(\angle C = 45^\circ\), как указано в условии задачи. Таким образом, угол между прямыми AC и BC равен либо \(135^\circ\), либо \(45^\circ\), в зависимости от направления измерения угла.