ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 7.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Может ли фигура, изображённая на рисунке 7.24, быть параллельной проекцией треугольника?

Дано: треугольник \(ABC\).

Пусть фигура на рисунке — проекция треугольника \(A’B’C’\) на плоскость.

Параллельная проекция сохраняет прямолинейность и отношение расположения точек, значит проекция треугольника — тоже треугольник.

Следовательно, фигура может быть параллельной проекцией треугольника.

1. Рассмотрим треугольник \(A’B’C’\) в пространстве. Он состоит из трёх точек \(A’\), \(B’\), \(C’\), соединённых отрезками.

2. Параллельная проекция — это отображение, при котором все точки проецируются на плоскость по параллельным прямым.

3. При параллельной проекции прямая переходит в прямую, а отрезок — в отрезок. Значит, треугольник \(A’B’C’\) проецируется в фигуру с тремя сторонами.

4. Обозначим проекции точек \(A’ \to A\), \(B’ \to B\), \(C’ \to C\). Тогда на плоскости получится треугольник \(ABC\).

5. Если бы точки \(A\), \(B\), \(C\) лежали на одной прямой, то фигура была бы вырожденным треугольником.

6. На рисунке видно, что точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой, значит фигура — настоящий треугольник.

7. Следовательно, фигура \(ABC\) может быть параллельной проекцией треугольника \(A’B’C’\).

8. Параллельная проекция сохраняет относительные положения точек, поэтому углы и длины могут изменяться, но форма остаётся треугольной.

9. Значит, исходный треугольник \(A’B’C’\) проецируется на плоскость в треугольник \(ABC\).

10. Итог: фигура \(ABC\) — параллельная проекция треугольника \(A’B’C’\), что доказывает требуемое.