Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 8.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Каждое ребро тетраэдра \( DABC \) равно \( a \), точки \( M \) и \( K \) — середины рёбер \( AB \) и \( CD \) соответственно (рис. 8.12).
1) Докажите, что \( MK \perp AB \) и \( MK \perp CD \).
2) Найдите отрезок \( MK \).
\( MK \) — средняя линия трапеции, так как \( M \) и \( K \) — середины \( AB \) и \( CD \). Значит, \( MK \perp AB \) и \( MK \perp CD \).
Длина \( MK = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
1) Рассмотрим правильный тетраэдр \( DABC \) с ребрами длины \( a \). Точки \( M \) и \( K \) — середины рёбер \( AB \) и \( CD \) соответственно. Тогда \( M \) и \( K \) делят эти рёбра пополам, то есть \( AM = MB = \frac{a}{2} \) и \( CK = KD = \frac{a}{2} \).
2) В правильном тетраэдре противоположные рёбра параллельны и равны, значит \( AB \parallel CD \) и \( AB = CD = a \). Отрезок \( MK \), соединяющий середины этих рёбер, является средней линией трапеции \( ABCD \).
3) Средняя линия трапеции параллельна основаниям, следовательно, \( MK \parallel AB \parallel CD \). Однако в правильном тетраэдре все рёбра равны и углы между ними одинаковы, поэтому \( MK \) перпендикулярен рёбрам \( AB \) и \( CD \).
4) Для доказательства перпендикулярности рассмотрим координаты: положим \( A = (0,0,0) \), \( B = (a,0,0) \), \( C = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0\right) \), \( D = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{6}, \frac{a \sqrt{6}}{3}\right) \).
5) Тогда \( M = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) \) — середина \( AB \), и \( K = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{3}, \frac{a \sqrt{6}}{6}\right) \) — середина \( CD \).
6) Вектор \( MK = K — M = \left(0, \frac{a \sqrt{3}}{3}, \frac{a \sqrt{6}}{6}\right) \).
7) Вектор \( AB = B — A = (a, 0, 0) \), и \( CD = D — C = \left(0, -\frac{a \sqrt{3}}{3}, \frac{a \sqrt{6}}{3}\right) \).
8) Скалярное произведение \( MK \cdot AB = 0 \cdot a + \frac{a \sqrt{3}}{3} \cdot 0 + \frac{a \sqrt{6}}{6} \cdot 0 = 0 \), значит \( MK \perp AB \).
9) Скалярное произведение \( MK \cdot CD = 0 \cdot 0 + \frac{a \sqrt{3}}{3} \cdot \left(-\frac{a \sqrt{3}}{3}\right) + \frac{a \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{3} = -\frac{a^{2} \cdot 3}{9} + \frac{a^{2} \cdot 6}{18} = -\frac{a^{2}}{3} +\)
\(+ \frac{a^{2}}{3} = 0 \), значит \( MK \perp CD \).
10) Длина \( MK = \sqrt{0^{2} + \left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^{2} + \left(\frac{a \sqrt{6}}{6}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2} \cdot 3}{9} + \frac{a^{2} \cdot 6}{36}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{3} + \frac{a^{2}}{6}} =\)
\(= \sqrt{\frac{2a^{2}}{6} + \frac{a^{2}}{6}} = \sqrt{\frac{3a^{2}}{6}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
