ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 8.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( E \), \( F \), \( M \) и \( K \) — середины соответственно рёбер \( AB \), \( BC \), \( AD \) и \( BD \) тетраэдра \( DABC \) (рис. 8.13). Найдите угол между прямыми \( EF \) и \( MK \), если \(\angle BAC = \alpha\).

Точки \(E\) и \(F\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит \(EF\) — средняя линия треугольника \(ABC\), следовательно \(EF \parallel AC\).

Точки \(M\) и \(K\) — середины сторон \(AD\) и \(BD\), значит \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABD\), следовательно \(MK \parallel CD\).

Угол между \(EF\) и \(MK\) равен углу между \(AC\) и \(BD\), то есть равен \(\alpha\).

Ответ: угол между \(EF\) и \(MK\) равен \(\alpha\).

1. Рассмотрим тетраэдр \(DABC\). Точки \(E\), \(F\), \(M\), \(K\) — середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(AD\), \(BD\) соответственно.

2. Поскольку \(E\) и \(F\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\), отрезок \(EF\) является средней линией этого треугольника.

3. По свойству средней линии в треугольнике, \(EF \parallel AC\) и длина \(EF = \frac{1}{2} AC\).

4. Аналогично, \(M\) и \(K\) — середины сторон \(AD\) и \(BD\) треугольника \(ABD\), поэтому отрезок \(MK\) — средняя линия этого треугольника.

5. Следовательно, \(MK \parallel CD\) и длина \(MK = \frac{1}{2} CD\).

6. Для определения угла между прямыми \(EF\) и \(MK\) достаточно найти угол между направлениями \(AC\) и \(BD\), так как \(EF \parallel AC\) и \(MK \parallel BD\).

7. По условию, угол \( \angle BAC = \alpha \).

8. Угол между прямыми \(EF\) и \(MK\) совпадает с углом между прямыми \(AC\) и \(BD\), то есть равен \(\alpha\).

9. Таким образом, угол между \(EF\) и \(MK\) равен \(\alpha\).

10. Ответ: угол между \(EF\) и \(MK\) равен \(\alpha\).