Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 8.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагонали грани \( ABCD \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) пересекаются в точке \( O \). Найдите угол между прямыми \( OB_1 \) и \( A_1C_1 \).
Точка \(O\) — середина диагоналей основания \(ABCD\), значит \(OB_1\) — медиана и высота в треугольнике \(A_1B_1C_1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) равнобедренный, так как ребра куба равны: \(A_1B_1 = B_1C_1\).
Поэтому угол между \(OB_1\) и \(A_1C_1\) равен \(90^\circ\).
Ответ: угол \( (OB_1, A_1C_1) = 90^\circ \).
1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром длины \( a \). Координаты вершин основания можно задать как \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( C(a,a,0) \), \( D(0,a,0) \), а вершины верхней грани — \( A_1(0,0,a) \), \( B_1(a,0,a) \), \( C_1(a,a,a) \), \( D_1(0,a,a) \).
2. Точка \( O \) — точка пересечения диагоналей грани \( ABCD \), следовательно, это середина диагонали \( AC \). Тогда координаты \( O \) равны \( \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \).
3. Вектор \( \overrightarrow{OB_1} \) равен разности координат \( B_1 \) и \( O \), то есть \( \overrightarrow{OB_1} = (a — \frac{a}{2}, 0 — \frac{a}{2}, a — 0) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, a\right) \).
4. Вектор \( \overrightarrow{A_1C_1} \) равен разности координат \( C_1 \) и \( A_1 \), то есть \( \overrightarrow{A_1C_1} = (a — 0, a — 0, a — a) = (a, a, 0) \).
5. Найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{OB_1} \cdot \overrightarrow{A_1C_1} = \frac{a}{2} \cdot a + \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot a + a \cdot 0 = \frac{a^2}{2} — \frac{a^2}{2} + 0 = 0 \).
6. Модули векторов равны \( |\overrightarrow{OB_1}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a \sqrt{\frac{3}{2}} \).
7. Модуль вектора \( \overrightarrow{A_1C_1} \) равен \( | \overrightarrow{A_1C_1} | = \sqrt{a^2 + a^2 + 0} = \sqrt{2a^2} = a \sqrt{2} \).
8. Угол \( \theta \) между векторами \( \overrightarrow{OB_1} \) и \( \overrightarrow{A_1C_1} \) находится по формуле \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{OB_1} \cdot \overrightarrow{A_1C_1}}{|\overrightarrow{OB_1}| \cdot |\overrightarrow{A_1C_1}|} = \frac{0}{a \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot a \sqrt{2}} = 0 \).
9. Отсюда следует, что \( \theta = 90^\circ \).
10. Ответ: угол между прямыми \( OB_1 \) и \( A_1C_1 \) равен \( 90^\circ \).
