Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 8.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагонали грани \( ABCD \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) пересекаются в точке \( O \). Найдите угол между прямыми \( OB_1 \) и \( A_1C_1 \).
Основание параллелепипеда — квадрат со стороной \(a\), боковое ребро равно \(a\sqrt{3}\).
Координаты точек: \(A(0,0,0)\), \(D_1(0,a,a\sqrt{3})\), \(B_1(a,0,a\sqrt{3})\), \(C(a,a,0)\).
Векторы прямых: \(\overrightarrow{AD_1} = (0,a,a\sqrt{3})\), \(\overrightarrow{B_1C} = (0,a,-a\sqrt{3})\).
Скалярное произведение: \(\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{B_1C} = a^2 — 3a^2 = -2a^2\).
Длины векторов: \(|\overrightarrow{AD_1}| = 2a\), \(|\overrightarrow{B_1C}| = 2a\).
Косинус угла: \(\cos \theta = \frac{-2a^2}{2a \cdot 2a} = -\frac{1}{2}\).
Угол между прямыми: \(\theta = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).
1. Основание параллелепипеда — квадрат \( ABCD \) со стороной \( a \). Пусть координаты точек: \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( C(a,a,0) \), \( D(0,a,0) \).
2. Боковое ребро \( AA_1 \) равно \( a\sqrt{3} \), значит \( A_1(0,0,a\sqrt{3}) \). Аналогично: \( B_1(a,0,a\sqrt{3}) \), \( C_1(a,a,a\sqrt{3}) \), \( D_1(0,a,a\sqrt{3}) \).
3. Найдём вектор \( \overrightarrow{AD_1} = D_1 — A = (0,a,a\sqrt{3}) \).
4. Найдём вектор \( \overrightarrow{B_1C} = C — B_1 = (a — a, a — 0, 0 — a\sqrt{3}) = (0,a,-a\sqrt{3}) \).
5. Скалярное произведение векторов: \( \overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{B_1C} = 0 \cdot 0 + a \cdot a + a\sqrt{3} \cdot (-a\sqrt{3}) = a^{2} — 3a^{2} = -2a^{2} \).
6. Длины векторов: \( |\overrightarrow{AD_1}| = \sqrt{0^{2} + a^{2} + (a\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{a^{2} + 3a^{2}} = \sqrt{4a^{2}} = 2a \).
7. Аналогично, \( |\overrightarrow{B_1C}| = \sqrt{0^{2} + a^{2} + (-a\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{a^{2} + 3a^{2}} = 2a \).
8. Косинус угла между векторами: \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{B_1C}}{|\overrightarrow{AD_1}| \cdot |\overrightarrow{B_1C}|} = \frac{-2a^{2}}{2a \cdot 2a} = -\frac{1}{2} \).
9. Угол между векторами: \( \theta = \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \).
10. Угол между прямыми — острый угол, значит \( \theta = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ \).
