ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 8.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( E \) и \( F \) — середины соответственно рёбер \( AA_1 \) и \( CD \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Постройте прямую, которая проходит через точку \( D_1 \), перпендикулярна прямой \( EF \) и пересекает отрезок \( EF \).

Точки \( E \) и \( F \) — середины рёбер \( AA_1 \) и \( CD \), значит \( EF \) — отрезок в пространстве.

Треугольник \( EPF \) равнобедренный с \( EP = FP \), тогда \( DP \) — медиана и высота, где \( P \) — точка пересечения с \( EF \).

Прямая через \( D_1 \) и \( P \) перпендикулярна \( EF \) и пересекает \( EF \) в \( P \).

Ответ: прямая \( D_1P \), где \( P \) — основание высоты из \( D_1 \) на \( EF \).

1. Пусть \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — куб с длиной ребра \( a \). Координаты точек примем так: \( A(0;0;0) \), \( B(a;0;0) \), \( C(a;a;0) \), \( D(0;a;0) \), \( A_1(0;0;a) \), \( B_1(a;0;a) \), \( C_1(a;a;a) \), \( D_1(0;a;a) \).

2. Точка \( E \) — середина ребра \( AA_1 \), значит \( E(0;0;\frac{a}{2}) \).

3. Точка \( F \) — середина ребра \( CD \), значит \( F(\frac{a}{2};a;0) \).

4. Найдём вектор \( \overrightarrow{EF} = F — E = (\frac{a}{2}-0; a-0; 0 — \frac{a}{2}) = (\frac{a}{2}; a; -\frac{a}{2}) \).

5. Прямая, проходящая через точку \( D_1(0;a;a) \) и перпендикулярная \( EF \), будет иметь направляющий вектор \( \overrightarrow{n} \), перпендикулярный \( \overrightarrow{EF} \).

6. Точка пересечения прямой с отрезком \( EF \) обозначим \( P \). Тогда \( P \) лежит на \( EF \), и \( \overrightarrow{D_1P} \perp \overrightarrow{EF} \).

7. Параметрически точка \( P \) на \( EF \) задаётся как \( P = E + t \overrightarrow{EF} = (0 + t \frac{a}{2}; 0 + t a; \frac{a}{2} — t \frac{a}{2}) \).

8. Вектор \( \overrightarrow{D_1P} = P — D_1 = (t \frac{a}{2} — 0; t a — a; \frac{a}{2} — t \frac{a}{2} — a) = (t \frac{a}{2}; a(t-1); \frac{a}{2} — a — t \frac{a}{2}) \).

9. Условие перпендикулярности: скалярное произведение \( \overrightarrow{D_1P} \cdot \overrightarrow{EF} = 0 \), то есть

\( t \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} + a(t-1) \cdot a + \left(\frac{a}{2} — a — t \frac{a}{2}\right) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) = 0 \).

10. Упростим, разделив на \( a^2 \neq 0 \):

\( t \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + (t-1) \cdot 1 + \left(\frac{1}{2} — 1 — t \frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \).

Это даёт

\( \frac{t}{4} + t -1 + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} t\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \).

Продолжаем:

\( \frac{t}{4} + t -1 + \frac{1}{4} — \frac{t}{4} = 0 \).

Слагаемые \( \frac{t}{4} \) и \( -\frac{t}{4} \) сокращаются, остаётся

\( t — \frac{3}{4} = 0 \).

Отсюда \( t = \frac{3}{4} \).

11. Подставим \( t = \frac{3}{4} \) в координаты \( P \):

\( P = \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{a}{2}; \frac{3}{4} a; \frac{a}{2} — \frac{3}{4} \cdot \frac{a}{2}\right) = \left(\frac{3a}{8}; \frac{3a}{4}; \frac{a}{2} — \frac{3a}{8}\right) = \left(\frac{3a}{8}; \frac{3a}{4}; \frac{a}{8}\right) \).

12. Прямая, проходящая через \( D_1(0;a;a) \) и \( P\left(\frac{3a}{8}; \frac{3a}{4}; \frac{a}{8}\right) \), является искомой.

Уравнение прямой в параметрической форме:

\( x = s \cdot \frac{3a}{8} \),

\( y = a + s \left(\frac{3a}{4} — a\right) = a — s \frac{a}{4} \),

\( z = a + s \left(\frac{a}{8} — a\right) = a — s \frac{7a}{8} \),

где \( s \in \mathbb{R} \).

13. Ответ: прямая через \( D_1 \) и \( P \) с направляющим вектором \( \overrightarrow{D_1P} = \left(\frac{3a}{8}; -\frac{a}{4}; -\frac{7a}{8}\right) \), перпендикулярная \( EF \) и пересекающая отрезок \( EF \) в точке \( P \).