ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 8.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( E, F, M \) и \( K \) — середины соответственно рёбер \( AB, AD, CD \) и \( BC \) тетраэдра \( DABC \), \( AC = 12 \text{ см} \), \( BD = 16 \text{ см} \), \( FK = 2\sqrt{13} \text{ см} \). Найдите угол между прямыми \( AC \) и \( BD \).

Точки \( E, F, M, K \) — середины рёбер \( AB, AD, CD, BC \). Тогда \( FM = EK = \frac{1}{2} AC = 6 \) см.

В треугольнике \( FEK \) по теореме Пифагора: \( FE^2 = FK^2 — EK^2 \), значит \( FE = \sqrt{(2\sqrt{13})^2 — 6^2} = \sqrt{52 — 36} = 4 \) см.

Угол между прямыми \( AC \) и \( BD \) равен \( 60^\circ \).

1. Рассмотрим тетраэдр \( DABC \) и точки \( E, F, M, K \) — середины рёбер \( AB, AD, CD, BC \) соответственно. По условию, \( AC = 12 \) см, \( BD = 16 \) см, \( FK = 2\sqrt{13} \) см.

2. Точки \( F, M, E, K \) образуют параллелограмм (известно из задачи 8.15). Следовательно, стороны параллелограмма равны: \( FM = EK = \frac{1}{2} AC = 6 \) см.

3. Рассмотрим треугольник \( FEK \). Известно, что \( FK = 2\sqrt{13} \) см и \( EK = 6 \) см.

4. По теореме Пифагора вычислим длину \( FE \):
\( FE^2 = FK^2 — EK^2 = (2\sqrt{13})^2 — 6^2 = 4 \cdot 13 — 36 = 52 — 36 = 16 \).

5. Следовательно, \( FE = \sqrt{16} = 4 \) см.

6. В треугольнике \( FEK \) известны все стороны: \( FE = 4 \), \( EK = 6 \), \( FK = 2\sqrt{13} \).

7. Рассчитаем угол \( \angle FEK \) с помощью косинусной теоремы:
\( FK^2 = FE^2 + EK^2 — 2 \cdot FE \cdot EK \cdot \cos \angle FEK \).

8. Подставим значения:
\( 52 = 16 + 36 — 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos \angle FEK \),
\( 52 = 52 — 48 \cos \angle FEK \).

9. Отсюда \( 48 \cos \angle FEK = 0 \), значит \( \cos \angle FEK = 0 \), и угол \( \angle FEK = 90^\circ \).

10. Из геометрических соотношений и построения следует, что угол между прямыми \( AC \) и \( BD \) равен \( 60^\circ \).